פתור את 2z^2-2z+5=0

$$2 z ^ { 2 } - 2 z + 5 = 0$$

פתור עבור z

$$z=\frac{1}{2}+\frac{3}{2}i=0.5+1.5i$$

$$z=\frac{1}{2}-\frac{3}{2}i=0.5-1.5i$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$2z^{2}-2z+5=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 2 במקום a, ב- -2 במקום b, וב- 5 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$z=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 2\times 5}}{2\times 2}$$

‎-2 בריבוע.

$$z=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 2\times 5}}{2\times 2}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎2.

$$z=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-8\times 5}}{2\times 2}$$

הכפל את ‎-8 ב- ‎5.

$$z=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-40}}{2\times 2}$$

הוסף את ‎4 ל- ‎-40.

$$z=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{-36}}{2\times 2}$$

הוצא את השורש הריבועי של -36.

$$z=\frac{-\left(-2\right)±6i}{2\times 2}$$

ההופכי של ‎-2 הוא ‎2.

$$z=\frac{2±6i}{2\times 2}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎2.

$$z=\frac{2±6i}{4}$$

כעת פתור את המשוואה z=\frac{2±6i}{4} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎2 ל- ‎6i.

$$z=\frac{2+6i}{4}$$

חלק את ‎2+6i ב- ‎4.

$$z=\frac{1}{2}+\frac{3}{2}i$$

כעת פתור את המשוואה z=\frac{2±6i}{4} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎6i מ- ‎2.

$$z=\frac{2-6i}{4}$$

חלק את ‎2-6i ב- ‎4.

$$z=\frac{1}{2}-\frac{3}{2}i$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$z=\frac{1}{2}+\frac{3}{2}i z=\frac{1}{2}-\frac{3}{2}i$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$2z^{2}-2z+5=0$$

החסר ‎5 משני אגפי המשוואה.

$$2z^{2}-2z+5-5=-5$$

החסרת 5 מעצמו נותנת 0.

$$2z^{2}-2z=-5$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$\frac{2z^{2}-2z}{2}=-\frac{5}{2}$$

חילוק ב- ‎2 מבטל את ההכפלה ב- ‎2.

$$z^{2}+\left(-\frac{2}{2}\right)z=-\frac{5}{2}$$

חלק את ‎-2 ב- ‎2.

$$z^{2}-z=-\frac{5}{2}$$

חלק את ‎-1, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎-\frac{1}{2}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של -\frac{1}{2} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$z^{2}-z+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{5}{2}+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

העלה את ‎-\frac{1}{2} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$z^{2}-z+\frac{1}{4}=-\frac{5}{2}+\frac{1}{4}$$

הוסף את ‎-\frac{5}{2} ל- ‎\frac{1}{4} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$z^{2}-z+\frac{1}{4}=-\frac{9}{4}$$

פרק z^{2}-z+\frac{1}{4} לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(z-\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{9}{4}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(z-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{9}{4}}$$

פשט.

$$z-\frac{1}{2}=\frac{3}{2}i z-\frac{1}{2}=-\frac{3}{2}i$$

הוסף ‎\frac{1}{2} לשני אגפי המשוואה.

$$z=\frac{1}{2}+\frac{3}{2}i z=\frac{1}{2}-\frac{3}{2}i$$