פתור את 2z^2+19z-21

$$2 z ^ { 2 } + 19 z - 21$$

פרק לגורמים

$$\left(z-1\right)\left(2z+21\right)$$

שלבי פתרון

פרק את הביטוי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את הביטוי כ- 2z^{2}+az+bz-21. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=19 ab=2\left(-21\right)=-42$$

מאחר ש- ab הוא שלילי, ל- a ול- b יש סימנים הפוכים. מאחר ש- a+b הוא חיובי, למספר החיובי יש ערך מוחלט גדול יותר מהשלילי. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה -42.

$$-1,42 -2,21 -3,14 -6,7$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$-1+42=41 -2+21=19 -3+14=11 -6+7=1$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום 19.

$$a=-2 b=21$$

שכתב את ‎2z^{2}+19z-21 כ- ‎\left(2z^{2}-2z\right)+\left(21z-21\right).

$$\left(2z^{2}-2z\right)+\left(21z-21\right)$$

הוצא את הגורם המשותף 2z בקבוצה הראשונה ואת 21 בקבוצה השניה.

$$2z\left(z-1\right)+21\left(z-1\right)$$

הוצא את האיבר המשותף z-1 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(z-1\right)\left(2z+21\right)$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפרק פולינום ריבועי לגורמים באמצעות הטרנספורמציה ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎, כאשר x_{1} ו- x_{2} הם הפתרונות של המשוואה הריבועית ax^{2}+bx+c=0.

$$2z^{2}+19z-21=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$z=\frac{-19±\sqrt{19^{2}-4\times 2\left(-21\right)}}{2\times 2}$$

‎19 בריבוע.

$$z=\frac{-19±\sqrt{361-4\times 2\left(-21\right)}}{2\times 2}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎2.

$$z=\frac{-19±\sqrt{361-8\left(-21\right)}}{2\times 2}$$

הכפל את ‎-8 ב- ‎-21.

$$z=\frac{-19±\sqrt{361+168}}{2\times 2}$$

הוסף את ‎361 ל- ‎168.

$$z=\frac{-19±\sqrt{529}}{2\times 2}$$

הוצא את השורש הריבועי של 529.

$$z=\frac{-19±23}{2\times 2}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎2.

$$z=\frac{-19±23}{4}$$

כעת פתור את המשוואה z=\frac{-19±23}{4} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎-19 ל- ‎23.

$$z=\frac{4}{4}$$

חלק את ‎4 ב- ‎4.

$$z=1$$

כעת פתור את המשוואה z=\frac{-19±23}{4} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎23 מ- ‎-19.

$$z=-\frac{42}{4}$$

צמצם את השבר ‎\frac{-42}{4} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 2.

$$z=-\frac{21}{2}$$

פרק את הביטוי המקורי לגורמים באמצעות ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎. השתמש ב- ‎1 במקום x_{1} וב- ‎-\frac{21}{2} במקום x_{2}.

$$2z^{2}+19z-21=2\left(z-1\right)\left(z-\left(-\frac{21}{2}\right)\right)$$

פשט את כל הביטויים של הצורה ‎p-\left(-q\right)‎ ל- p+q.

$$2z^{2}+19z-21=2\left(z-1\right)\left(z+\frac{21}{2}\right)$$

הוסף את ‎\frac{21}{2} ל- ‎z על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$2z^{2}+19z-21=2\left(z-1\right)\times \frac{2z+21}{2}$$

בטל את הגורם המשותף הגדול ביותר ‎2 ב- ‎2 ו- ‎2.

$$2z^{2}+19z-21=\left(z-1\right)\left(2z+21\right)$$

הערך

$$\left(z-1\right)\left(2z+21\right)$$