פתור את 2y^2-9y-18

$$2 y ^ { 2 } - 9 y - 18$$

פרק לגורמים

$$\left(y-6\right)\left(2y+3\right)$$

שלבי פתרון

פרק את הביטוי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את הביטוי כ- 2y^{2}+ay+by-18. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=-9 ab=2\left(-18\right)=-36$$

מאחר ש- ab הוא שלילי, ל- a ול- b יש סימנים הפוכים. מאחר ש- a+b הוא שלילי, למספר השלילי יש ערך מוחלט גדול יותר מהחיובי. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה -36.

$$1,-36 2,-18 3,-12 4,-9 6,-6$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$1-36=-35 2-18=-16 3-12=-9 4-9=-5 6-6=0$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום -9.

$$a=-12 b=3$$

שכתב את ‎2y^{2}-9y-18 כ- ‎\left(2y^{2}-12y\right)+\left(3y-18\right).

$$\left(2y^{2}-12y\right)+\left(3y-18\right)$$

הוצא את הגורם המשותף 2y בקבוצה הראשונה ואת 3 בקבוצה השניה.

$$2y\left(y-6\right)+3\left(y-6\right)$$

הוצא את האיבר המשותף y-6 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(y-6\right)\left(2y+3\right)$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפרק פולינום ריבועי לגורמים באמצעות הטרנספורמציה ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎, כאשר x_{1} ו- x_{2} הם הפתרונות של המשוואה הריבועית ax^{2}+bx+c=0.

$$2y^{2}-9y-18=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$y=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{\left(-9\right)^{2}-4\times 2\left(-18\right)}}{2\times 2}$$

‎-9 בריבוע.

$$y=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-4\times 2\left(-18\right)}}{2\times 2}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎2.

$$y=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-8\left(-18\right)}}{2\times 2}$$

הכפל את ‎-8 ב- ‎-18.

$$y=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81+144}}{2\times 2}$$

הוסף את ‎81 ל- ‎144.

$$y=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{225}}{2\times 2}$$

הוצא את השורש הריבועי של 225.

$$y=\frac{-\left(-9\right)±15}{2\times 2}$$

ההופכי של ‎-9 הוא ‎9.

$$y=\frac{9±15}{2\times 2}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎2.

$$y=\frac{9±15}{4}$$

כעת פתור את המשוואה y=\frac{9±15}{4} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎9 ל- ‎15.

$$y=\frac{24}{4}$$

חלק את ‎24 ב- ‎4.

$$y=6$$

כעת פתור את המשוואה y=\frac{9±15}{4} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎15 מ- ‎9.

$$y=-\frac{6}{4}$$

צמצם את השבר ‎\frac{-6}{4} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 2.

$$y=-\frac{3}{2}$$

פרק את הביטוי המקורי לגורמים באמצעות ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎. השתמש ב- ‎6 במקום x_{1} וב- ‎-\frac{3}{2} במקום x_{2}.

$$2y^{2}-9y-18=2\left(y-6\right)\left(y-\left(-\frac{3}{2}\right)\right)$$

פשט את כל הביטויים של הצורה ‎p-\left(-q\right)‎ ל- p+q.

$$2y^{2}-9y-18=2\left(y-6\right)\left(y+\frac{3}{2}\right)$$

הוסף את ‎\frac{3}{2} ל- ‎y על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$2y^{2}-9y-18=2\left(y-6\right)\times \frac{2y+3}{2}$$

בטל את הגורם המשותף הגדול ביותר ‎2 ב- ‎2 ו- ‎2.

$$2y^{2}-9y-18=\left(y-6\right)\left(2y+3\right)$$

הערך

$$\left(y-6\right)\left(2y+3\right)$$