פתור את 2x-3y=-2text{and}4x+y=2A

$$2 x - 3 y = - 2 \text { and } 4 x + y = 2 A$$

פתור עבור x, y

$$x=\frac{3A-1}{7}$$

$$y=\frac{2A+4}{7}$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$2x-3y=-2,4x+y=2A$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$2x-3y=-2$$

הוסף ‎3y לשני אגפי המשוואה.

$$2x=3y-2$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y-2\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{2} ב- ‎3y-2.

$$x=\frac{3}{2}y-1$$

השתמש ב- ‎\frac{3y}{2}-1 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎4x+y=2A.

$$4\left(\frac{3}{2}y-1\right)+y=2A$$

הכפל את ‎4 ב- ‎\frac{3y}{2}-1.

$$6y-4+y=2A$$

הוסף את ‎6y ל- ‎y.

$$7y-4=2A$$

הוסף ‎4 לשני אגפי המשוואה.

$$7y=2A+4$$

חלק את שני האגפים ב- ‎7.

$$y=\frac{2A+4}{7}$$

השתמש ב- ‎\frac{4+2A}{7} במקום y ב- ‎x=\frac{3}{2}y-1. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=\frac{3}{2}\times \frac{2A+4}{7}-1$$

הכפל את ‎\frac{3}{2} ב- ‎\frac{4+2A}{7}.

$$x=\frac{3A+6}{7}-1$$

הוסף את ‎-1 ל- ‎\frac{6+3A}{7}.

$$x=\frac{3A-1}{7}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{3A-1}{7},y=\frac{2A+4}{7}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$2x-3y=-2,4x+y=2A$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\2A\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}2&-3\\4&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\2A\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\2A\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\2A\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-\left(-3\times 4\right)}&-\frac{-3}{2-\left(-3\times 4\right)}\\-\frac{4}{2-\left(-3\times 4\right)}&\frac{2}{2-\left(-3\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\2A\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{14}&\frac{3}{14}\\-\frac{2}{7}&\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\2A\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{14}\left(-2\right)+\frac{3}{14}\times 2A\\-\frac{2}{7}\left(-2\right)+\frac{1}{7}\times 2A\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3A-1}{7}\\\frac{2A+4}{7}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=\frac{3A-1}{7},y=\frac{2A+4}{7}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$2x-3y=-2,4x+y=2A$$

כדי להפוך את ‎2x ו- ‎4x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎4 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎2.

$$4\times 2x+4\left(-3\right)y=4\left(-2\right),2\times 4x+2y=2\times 2A$$

פשט.

$$8x-12y=-8,8x+2y=4A$$

החסר את ‎8x+2y=4A מ- ‎8x-12y=-8 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$8x-8x-12y-2y=-8-4A$$

הוסף את ‎8x ל- ‎-8x. האיברים ‎8x ו- ‎-8x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-12y-2y=-8-4A$$

הוסף את ‎-12y ל- ‎-2y.

$$-14y=-8-4A$$

הוסף את ‎-8 ל- ‎-4A.

$$-14y=-4A-8$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-14.

$$y=\frac{2A+4}{7}$$

השתמש ב- ‎\frac{4+2A}{7} במקום y ב- ‎4x+y=2A. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$4x+\frac{2A+4}{7}=2A$$

החסר ‎\frac{4+2A}{7} משני אגפי המשוואה.

$$4x=\frac{12A-4}{7}$$

חלק את שני האגפים ב- ‎4.

$$x=\frac{3A-1}{7}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{3A-1}{7},y=\frac{2A+4}{7}$$