פתור את 2x-3y+5=0,4x+ky-2=0

$$2 x - 3 y + 5 = 0,4 x + k y - 2 = 0$$

פתור עבור x, y

$$x=-\frac{5k-6}{2\left(k+6\right)}$$

$$y=\frac{12}{k+6}$$

$$k\neq -6$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$2x-3y+5=0,4x+ky-2=0$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$2x-3y+5=0$$

החסר ‎5 משני אגפי המשוואה.

$$2x-3y=-5$$

הוסף ‎3y לשני אגפי המשוואה.

$$2x=3y-5$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y-5\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{2} ב- ‎3y-5.

$$x=\frac{3}{2}y-\frac{5}{2}$$

השתמש ב- ‎\frac{3y-5}{2} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎4x+ky-2=0.

$$4\left(\frac{3}{2}y-\frac{5}{2}\right)+ky-2=0$$

הכפל את ‎4 ב- ‎\frac{3y-5}{2}.

$$6y-10+ky-2=0$$

הוסף את ‎6y ל- ‎ky.

$$\left(k+6\right)y-10-2=0$$

הוסף את ‎-10 ל- ‎-2.

$$\left(k+6\right)y-12=0$$

הוסף ‎12 לשני אגפי המשוואה.

$$\left(k+6\right)y=12$$

חלק את שני האגפים ב- ‎6+k.

$$y=\frac{12}{k+6}$$

השתמש ב- ‎\frac{12}{6+k} במקום y ב- ‎x=\frac{3}{2}y-\frac{5}{2}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=\frac{3}{2}\times \frac{12}{k+6}-\frac{5}{2}$$

הכפל את ‎\frac{3}{2} ב- ‎\frac{12}{6+k}.

$$x=\frac{18}{k+6}-\frac{5}{2}$$

הוסף את ‎-\frac{5}{2} ל- ‎\frac{18}{6+k}.

$$x=\frac{6-5k}{2\left(k+6\right)}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{6-5k}{2\left(k+6\right)},y=\frac{12}{k+6}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$2x-3y+5=0,4x+ky-2=0$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\4&k\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\2\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}2&-3\\4&k\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\4&k\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\4&k\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\4&k\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\2\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\4&k\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\2\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\4&k\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\2\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{k}{2k-\left(-3\times 4\right)}&-\frac{-3}{2k-\left(-3\times 4\right)}\\-\frac{4}{2k-\left(-3\times 4\right)}&\frac{2}{2k-\left(-3\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\2\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{k}{2\left(k+6\right)}&\frac{3}{2\left(k+6\right)}\\-\frac{2}{k+6}&\frac{1}{k+6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\2\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{k}{2\left(k+6\right)}\left(-5\right)+\frac{3}{2\left(k+6\right)}\times 2\\\left(-\frac{2}{k+6}\right)\left(-5\right)+\frac{1}{k+6}\times 2\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6-5k}{2\left(k+6\right)}\\\frac{12}{k+6}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=\frac{6-5k}{2\left(k+6\right)},y=\frac{12}{k+6}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$2x-3y+5=0,4x+ky-2=0$$

כדי להפוך את ‎2x ו- ‎4x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎4 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎2.

$$4\times 2x+4\left(-3\right)y+4\times 5=0,2\times 4x+2ky+2\left(-2\right)=0$$

פשט.

$$8x-12y+20=0,8x+2ky-4=0$$

החסר את ‎8x+2ky-4=0 מ- ‎8x-12y+20=0 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$8x-8x-12y+\left(-2k\right)y+20+4=0$$

הוסף את ‎8x ל- ‎-8x. האיברים ‎8x ו- ‎-8x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-12y+\left(-2k\right)y+20+4=0$$

הוסף את ‎-12y ל- ‎-2ky.

$$\left(-2k-12\right)y+20+4=0$$

הוסף את ‎20 ל- ‎4.

$$\left(-2k-12\right)y+24=0$$

החסר ‎24 משני אגפי המשוואה.

$$\left(-2k-12\right)y=-24$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-12-2k.

$$y=\frac{12}{k+6}$$

השתמש ב- ‎\frac{12}{6+k} במקום y ב- ‎4x+ky-2=0. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$4x+k\times \frac{12}{k+6}-2=0$$

הכפל את ‎k ב- ‎\frac{12}{6+k}.

$$4x+\frac{12k}{k+6}-2=0$$

הוסף את ‎\frac{12k}{6+k} ל- ‎-2.

$$4x+\frac{2\left(5k-6\right)}{k+6}=0$$

החסר ‎\frac{2\left(5k-6\right)}{6+k} משני אגפי המשוואה.

$$4x=-\frac{2\left(5k-6\right)}{k+6}$$

חלק את שני האגפים ב- ‎4.

$$x=-\frac{5k-6}{2\left(k+6\right)}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-\frac{5k-6}{2\left(k+6\right)},y=\frac{12}{k+6}$$