פתור את 2x-3y+10=0quadtext{KaHa}5x-y+4=0

$$2 x - 3 y + 10 = 0 \quad \text { KaHa } 5 x - y + 4 = 0$$

פתור עבור x, y

$$x=-\frac{2}{13}\approx -0.153846154$$

$$y = \frac{42}{13} = 3\frac{3}{13} \approx 3.230769231$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$2x-3y+10=0,5x-y+4=0$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$2x-3y+10=0$$

החסר ‎10 משני אגפי המשוואה.

$$2x-3y=-10$$

הוסף ‎3y לשני אגפי המשוואה.

$$2x=3y-10$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y-10\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{2} ב- ‎3y-10.

$$x=\frac{3}{2}y-5$$

השתמש ב- ‎\frac{3y}{2}-5 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎5x-y+4=0.

$$5\left(\frac{3}{2}y-5\right)-y+4=0$$

הכפל את ‎5 ב- ‎\frac{3y}{2}-5.

$$\frac{15}{2}y-25-y+4=0$$

הוסף את ‎\frac{15y}{2} ל- ‎-y.

$$\frac{13}{2}y-25+4=0$$

הוסף את ‎-25 ל- ‎4.

$$\frac{13}{2}y-21=0$$

הוסף ‎21 לשני אגפי המשוואה.

$$\frac{13}{2}y=21$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎\frac{13}{2}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=\frac{42}{13}$$

השתמש ב- ‎\frac{42}{13} במקום y ב- ‎x=\frac{3}{2}y-5. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=\frac{3}{2}\times \frac{42}{13}-5$$

הכפל את ‎\frac{3}{2} ב- ‎\frac{42}{13} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=\frac{63}{13}-5$$

הוסף את ‎-5 ל- ‎\frac{63}{13}.

$$x=-\frac{2}{13}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-\frac{2}{13},y=\frac{42}{13}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$2x-3y+10=0,5x-y+4=0$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\5&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-10\\-4\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}2&-3\\5&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\5&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\-4\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\-4\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\-4\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2\left(-1\right)-\left(-3\times 5\right)}&-\frac{-3}{2\left(-1\right)-\left(-3\times 5\right)}\\-\frac{5}{2\left(-1\right)-\left(-3\times 5\right)}&\frac{2}{2\left(-1\right)-\left(-3\times 5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\-4\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{13}&\frac{3}{13}\\-\frac{5}{13}&\frac{2}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\-4\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{13}\left(-10\right)+\frac{3}{13}\left(-4\right)\\-\frac{5}{13}\left(-10\right)+\frac{2}{13}\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{13}\\\frac{42}{13}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=-\frac{2}{13},y=\frac{42}{13}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$2x-3y+10=0,5x-y+4=0$$

כדי להפוך את ‎2x ו- ‎5x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎5 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎2.

$$5\times 2x+5\left(-3\right)y+5\times 10=0,2\times 5x+2\left(-1\right)y+2\times 4=0$$

פשט.

$$10x-15y+50=0,10x-2y+8=0$$

החסר את ‎10x-2y+8=0 מ- ‎10x-15y+50=0 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$10x-10x-15y+2y+50-8=0$$

הוסף את ‎10x ל- ‎-10x. האיברים ‎10x ו- ‎-10x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-15y+2y+50-8=0$$

הוסף את ‎-15y ל- ‎2y.

$$-13y+50-8=0$$

הוסף את ‎50 ל- ‎-8.

$$-13y+42=0$$

החסר ‎42 משני אגפי המשוואה.

$$-13y=-42$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-13.

$$y=\frac{42}{13}$$

השתמש ב- ‎\frac{42}{13} במקום y ב- ‎5x-y+4=0. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$5x-\frac{42}{13}+4=0$$

הוסף את ‎-\frac{42}{13} ל- ‎4.

$$5x+\frac{10}{13}=0$$

החסר ‎\frac{10}{13} משני אגפי המשוואה.

$$5x=-\frac{10}{13}$$

חלק את שני האגפים ב- ‎5.

$$x=-\frac{2}{13}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-\frac{2}{13},y=\frac{42}{13}$$