פתור את 2x^2-x-36=0

$$2 x ^ { 2 } - x - 36 = 0$$

פתור עבור x

$$x=-4$$

$$x = \frac{9}{2} = 4\frac{1}{2} = 4.5$$

שלבים הכוללים שימוש בפירוק לגורמים על-ידי קיבוץ

כדי לפתור את המשוואה, פרק את האגף השמאלי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את האגף השמאלי כ- 2x^{2}+ax+bx-36. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=-1 ab=2\left(-36\right)=-72$$

מאחר ש- ab הוא שלילי, ל- a ול- b יש סימנים הפוכים. מאחר ש- a+b הוא שלילי, למספר השלילי יש ערך מוחלט גדול יותר מהחיובי. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה -72.

$$1,-72 2,-36 3,-24 4,-18 6,-12 8,-9$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$1-72=-71 2-36=-34 3-24=-21 4-18=-14 6-12=-6 8-9=-1$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום -1.

$$a=-9 b=8$$

שכתב את ‎2x^{2}-x-36 כ- ‎\left(2x^{2}-9x\right)+\left(8x-36\right).

$$\left(2x^{2}-9x\right)+\left(8x-36\right)$$

הוצא את הגורם המשותף x בקבוצה הראשונה ואת 4 בקבוצה השניה.

$$x\left(2x-9\right)+4\left(2x-9\right)$$

הוצא את האיבר המשותף 2x-9 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(2x-9\right)\left(x+4\right)$$

כדי למצוא פתרונות משוואה, פתור את 2x-9=0 ו- x+4=0.

$$x=\frac{9}{2} x=-4$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$2x^{2}-x-36=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 2 במקום a, ב- -1 במקום b, וב- -36 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 2\left(-36\right)}}{2\times 2}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎2.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-8\left(-36\right)}}{2\times 2}$$

הכפל את ‎-8 ב- ‎-36.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+288}}{2\times 2}$$

הוסף את ‎1 ל- ‎288.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{289}}{2\times 2}$$

הוצא את השורש הריבועי של 289.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±17}{2\times 2}$$

ההופכי של ‎-1 הוא ‎1.

$$x=\frac{1±17}{2\times 2}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎2.

$$x=\frac{1±17}{4}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{1±17}{4} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎1 ל- ‎17.

$$x=\frac{18}{4}$$

צמצם את השבר ‎\frac{18}{4} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 2.

$$x=\frac{9}{2}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{1±17}{4} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎17 מ- ‎1.

$$x=-\frac{16}{4}$$

חלק את ‎-16 ב- ‎4.

$$x=-4$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$x=\frac{9}{2} x=-4$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-x-36=0$$

הוסף ‎36 לשני אגפי המשוואה.

$$2x^{2}-x-36-\left(-36\right)=-\left(-36\right)$$

החסרת -36 מעצמו נותנת 0.

$$2x^{2}-x=-\left(-36\right)$$

החסר ‎-36 מ- ‎0.

$$2x^{2}-x=36$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$\frac{2x^{2}-x}{2}=\frac{36}{2}$$

חילוק ב- ‎2 מבטל את ההכפלה ב- ‎2.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x=\frac{36}{2}$$

חלק את ‎36 ב- ‎2.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x=18$$

חלק את ‎-\frac{1}{2}, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎-\frac{1}{4}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של -\frac{1}{4} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}=18+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}$$

העלה את ‎-\frac{1}{4} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=18+\frac{1}{16}$$

הוסף את ‎18 ל- ‎\frac{1}{16}.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{289}{16}$$

פרק את ‎x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16} לגורמים. באופן כללי, כאשר x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים כ- \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{289}{16}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{289}{16}}$$

פשט.

$$x-\frac{1}{4}=\frac{17}{4} x-\frac{1}{4}=-\frac{17}{4}$$

הוסף ‎\frac{1}{4} לשני אגפי המשוואה.

$$x=\frac{9}{2} x=-4$$