פתור את 2x^2-x-15=0

$$2 x ^ { 2 } - x - 15 = 0$$

פתור עבור x

$$x = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2.5$$

$$x=3$$

שלבים הכוללים שימוש בפירוק לגורמים על-ידי קיבוץ

כדי לפתור את המשוואה, פרק את האגף השמאלי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את האגף השמאלי כ- 2x^{2}+ax+bx-15. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=-1 ab=2\left(-15\right)=-30$$

מאחר ש- ab הוא שלילי, ל- a ול- b יש סימנים הפוכים. מאחר ש- a+b הוא שלילי, למספר השלילי יש ערך מוחלט גדול יותר מהחיובי. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה -30.

$$1,-30 2,-15 3,-10 5,-6$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$1-30=-29 2-15=-13 3-10=-7 5-6=-1$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום -1.

$$a=-6 b=5$$

שכתב את ‎2x^{2}-x-15 כ- ‎\left(2x^{2}-6x\right)+\left(5x-15\right).

$$\left(2x^{2}-6x\right)+\left(5x-15\right)$$

הוצא את הגורם המשותף 2x בקבוצה הראשונה ואת 5 בקבוצה השניה.

$$2x\left(x-3\right)+5\left(x-3\right)$$

הוצא את האיבר המשותף x-3 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(x-3\right)\left(2x+5\right)$$

כדי למצוא פתרונות משוואה, פתור את x-3=0 ו- 2x+5=0.

$$x=3 x=-\frac{5}{2}$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$2x^{2}-x-15=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 2 במקום a, ב- -1 במקום b, וב- -15 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 2\left(-15\right)}}{2\times 2}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎2.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-8\left(-15\right)}}{2\times 2}$$

הכפל את ‎-8 ב- ‎-15.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+120}}{2\times 2}$$

הוסף את ‎1 ל- ‎120.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{121}}{2\times 2}$$

הוצא את השורש הריבועי של 121.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±11}{2\times 2}$$

ההופכי של ‎-1 הוא ‎1.

$$x=\frac{1±11}{2\times 2}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎2.

$$x=\frac{1±11}{4}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{1±11}{4} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎1 ל- ‎11.

$$x=\frac{12}{4}$$

חלק את ‎12 ב- ‎4.

$$x=3$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{1±11}{4} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎11 מ- ‎1.

$$x=-\frac{10}{4}$$

צמצם את השבר ‎\frac{-10}{4} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 2.

$$x=-\frac{5}{2}$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$x=3 x=-\frac{5}{2}$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-x-15=0$$

הוסף ‎15 לשני אגפי המשוואה.

$$2x^{2}-x-15-\left(-15\right)=-\left(-15\right)$$

החסרת -15 מעצמו נותנת 0.

$$2x^{2}-x=-\left(-15\right)$$

החסר ‎-15 מ- ‎0.

$$2x^{2}-x=15$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$\frac{2x^{2}-x}{2}=\frac{15}{2}$$

חילוק ב- ‎2 מבטל את ההכפלה ב- ‎2.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x=\frac{15}{2}$$

חלק את ‎-\frac{1}{2}, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎-\frac{1}{4}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של -\frac{1}{4} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{15}{2}+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}$$

העלה את ‎-\frac{1}{4} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{15}{2}+\frac{1}{16}$$

הוסף את ‎\frac{15}{2} ל- ‎\frac{1}{16} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{121}{16}$$

פרק x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16} לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{121}{16}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{16}}$$

פשט.

$$x-\frac{1}{4}=\frac{11}{4} x-\frac{1}{4}=-\frac{11}{4}$$

הוסף ‎\frac{1}{4} לשני אגפי המשוואה.

$$x=3 x=-\frac{5}{2}$$