פתור את 2x^2-x-1<0

$$2 x ^ { 2 } - x - 1 < 0$$

פתור עבור x

$$x\in \left(-\frac{1}{2},1\right)$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

כדי לפתור את אי-השוויון, פרק לגורמים את האגף השמאלי. ניתן לפרק פולינום ריבועי לגורמים באמצעות הטרנספורמציה ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎, כאשר x_{1} ו- x_{2} הם הפתרונות של המשוואה הריבועית ax^{2}+bx+c=0.

$$2x^{2}-x-1=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: ‎\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}‎. החלף את ‎2 ב- a, את ‎-1 ב- b ואת ‎-1 ב- c בנוסחה הריבועית.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{\left(-1\right)^{2}-4\times 2\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

בצע את החישובים.

$$x=\frac{1±3}{4}$$

פתור את המשוואה ‎x=\frac{1±3}{4} כאשר ± הוא סימן חיבור וכאשר ± הוא סימן חיסור.

$$x=1 x=-\frac{1}{2}$$

שכתב את אי-שוויון באמצעות הפתרונות שהתקבלו.

$$2\left(x-1\right)\left(x+\frac{1}{2}\right)<0$$

כדי שהמכפלה תהיה שלילית, הסימנים של ‎x-1 ו- ‎x+\frac{1}{2} צריכים להיות מנוגדים. שקול את המקרה כאשר ‎x-1 הוא חיובי ו- ‎x+\frac{1}{2} הוא שלילי.

$$x-1>0 x+\frac{1}{2}<0$$

זהו שקר עבור כל x.

$$x\in \emptyset$$

שקול את המקרה כאשר ‎x+\frac{1}{2} הוא חיובי ו- ‎x-1 הוא שלילי.

$$x+\frac{1}{2}>0 x-1<0$$

הפתרון העונה על שני מצבי אי-השוויון הוא ‎x\in \left(-\frac{1}{2},1\right).

$$x\in \left(-\frac{1}{2},1\right)$$

הפתרון הסופי הוא האיחוד של הפתרונות שהתקבלו.

$$x\in \left(-\frac{1}{2},1\right)$$