פתור את 2x^2-9x-81

$$2 x ^ { 2 } - 9 x - 81$$

פרק לגורמים

$$\left(x-9\right)\left(2x+9\right)$$

שלבי פתרון

פרק את הביטוי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את הביטוי כ- 2x^{2}+ax+bx-81. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=-9 ab=2\left(-81\right)=-162$$

מאחר ש- ab הוא שלילי, ל- a ול- b יש סימנים הפוכים. מאחר ש- a+b הוא שלילי, למספר השלילי יש ערך מוחלט גדול יותר מהחיובי. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה -162.

$$1,-162 2,-81 3,-54 6,-27 9,-18$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$1-162=-161 2-81=-79 3-54=-51 6-27=-21 9-18=-9$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום -9.

$$a=-18 b=9$$

שכתב את ‎2x^{2}-9x-81 כ- ‎\left(2x^{2}-18x\right)+\left(9x-81\right).

$$\left(2x^{2}-18x\right)+\left(9x-81\right)$$

הוצא את הגורם המשותף 2x בקבוצה הראשונה ואת 9 בקבוצה השניה.

$$2x\left(x-9\right)+9\left(x-9\right)$$

הוצא את האיבר המשותף x-9 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(x-9\right)\left(2x+9\right)$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפרק פולינום ריבועי לגורמים באמצעות הטרנספורמציה ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎, כאשר x_{1} ו- x_{2} הם הפתרונות של המשוואה הריבועית ax^{2}+bx+c=0.

$$2x^{2}-9x-81=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{\left(-9\right)^{2}-4\times 2\left(-81\right)}}{2\times 2}$$

‎-9 בריבוע.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-4\times 2\left(-81\right)}}{2\times 2}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎2.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-8\left(-81\right)}}{2\times 2}$$

הכפל את ‎-8 ב- ‎-81.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81+648}}{2\times 2}$$

הוסף את ‎81 ל- ‎648.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{729}}{2\times 2}$$

הוצא את השורש הריבועי של 729.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±27}{2\times 2}$$

ההופכי של ‎-9 הוא ‎9.

$$x=\frac{9±27}{2\times 2}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎2.

$$x=\frac{9±27}{4}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{9±27}{4} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎9 ל- ‎27.

$$x=\frac{36}{4}$$

חלק את ‎36 ב- ‎4.

$$x=9$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{9±27}{4} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎27 מ- ‎9.

$$x=-\frac{18}{4}$$

צמצם את השבר ‎\frac{-18}{4} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 2.

$$x=-\frac{9}{2}$$

פרק את הביטוי המקורי לגורמים באמצעות ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎. השתמש ב- ‎9 במקום x_{1} וב- ‎-\frac{9}{2} במקום x_{2}.

$$2x^{2}-9x-81=2\left(x-9\right)\left(x-\left(-\frac{9}{2}\right)\right)$$

פשט את כל הביטויים של הצורה ‎p-\left(-q\right)‎ ל- p+q.

$$2x^{2}-9x-81=2\left(x-9\right)\left(x+\frac{9}{2}\right)$$

הוסף את ‎\frac{9}{2} ל- ‎x על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$2x^{2}-9x-81=2\left(x-9\right)\times \frac{2x+9}{2}$$

בטל את הגורם המשותף הגדול ביותר ‎2 ב- ‎2 ו- ‎2.

$$2x^{2}-9x-81=\left(x-9\right)\left(2x+9\right)$$

הערך

$$\left(x-9\right)\left(2x+9\right)$$