פתור את 2x^2-5x-3=0

$$2 x ^ { 2 } - 5 x - 3 = 0$$

פתור עבור x

$$x=-\frac{1}{2}=-0.5$$

$$x=3$$

שלבים הכוללים שימוש בפירוק לגורמים על-ידי קיבוץ

כדי לפתור את המשוואה, פרק את האגף השמאלי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את האגף השמאלי כ- 2x^{2}+ax+bx-3. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=-5 ab=2\left(-3\right)=-6$$

מאחר ש- ab הוא שלילי, ל- a ול- b יש סימנים הפוכים. מאחר ש- a+b הוא שלילי, למספר השלילי יש ערך מוחלט גדול יותר מהחיובי. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה -6.

$$1,-6 2,-3$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$1-6=-5 2-3=-1$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום -5.

$$a=-6 b=1$$

שכתב את ‎2x^{2}-5x-3 כ- ‎\left(2x^{2}-6x\right)+\left(x-3\right).

$$\left(2x^{2}-6x\right)+\left(x-3\right)$$

הוצא את הגורם המשותף 2x ב- 2x^{2}-6x.

$$2x\left(x-3\right)+x-3$$

הוצא את האיבר המשותף x-3 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(x-3\right)\left(2x+1\right)$$

כדי למצוא פתרונות משוואה, פתור את x-3=0 ו- 2x+1=0.

$$x=3 x=-\frac{1}{2}$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$2x^{2}-5x-3=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 2 במקום a, ב- -5 במקום b, וב- -3 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 2\left(-3\right)}}{2\times 2}$$

‎-5 בריבוע.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 2\left(-3\right)}}{2\times 2}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎2.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-8\left(-3\right)}}{2\times 2}$$

הכפל את ‎-8 ב- ‎-3.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+24}}{2\times 2}$$

הוסף את ‎25 ל- ‎24.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{49}}{2\times 2}$$

הוצא את השורש הריבועי של 49.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±7}{2\times 2}$$

ההופכי של ‎-5 הוא ‎5.

$$x=\frac{5±7}{2\times 2}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎2.

$$x=\frac{5±7}{4}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{5±7}{4} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎5 ל- ‎7.

$$x=\frac{12}{4}$$

חלק את ‎12 ב- ‎4.

$$x=3$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{5±7}{4} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎7 מ- ‎5.

$$x=-\frac{2}{4}$$

צמצם את השבר ‎\frac{-2}{4} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 2.

$$x=-\frac{1}{2}$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$x=3 x=-\frac{1}{2}$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-5x-3=0$$

הוסף ‎3 לשני אגפי המשוואה.

$$2x^{2}-5x-3-\left(-3\right)=-\left(-3\right)$$

החסרת -3 מעצמו נותנת 0.

$$2x^{2}-5x=-\left(-3\right)$$

החסר ‎-3 מ- ‎0.

$$2x^{2}-5x=3$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$\frac{2x^{2}-5x}{2}=\frac{3}{2}$$

חילוק ב- ‎2 מבטל את ההכפלה ב- ‎2.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x=\frac{3}{2}$$

חלק את ‎-\frac{5}{2}, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎-\frac{5}{4}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של -\frac{5}{4} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x+\left(-\frac{5}{4}\right)^{2}=\frac{3}{2}+\left(-\frac{5}{4}\right)^{2}$$

העלה את ‎-\frac{5}{4} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=\frac{3}{2}+\frac{25}{16}$$

הוסף את ‎\frac{3}{2} ל- ‎\frac{25}{16} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=\frac{49}{16}$$

פרק x^{2}-\frac{5}{2}x+\frac{25}{16} לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{4}\right)^{2}=\frac{49}{16}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{16}}$$

פשט.

$$x-\frac{5}{4}=\frac{7}{4} x-\frac{5}{4}=-\frac{7}{4}$$

הוסף ‎\frac{5}{4} לשני אגפי המשוואה.

$$x=3 x=-\frac{1}{2}$$