פתור את 2x^2-5x+2xsqrt{x^2-5x+6}=3

$$2 x ^ { 2 } - 5 x + 2 x \sqrt { x ^ { 2 } - 5 x + 6 } = 3$$

פתור עבור x

$$x=3$$

שלבי פתרון

החסר ‎2x^{2}-5x משני אגפי המשוואה.

$$2x\sqrt{x^{2}-5x+6}=3-\left(2x^{2}-5x\right)$$

כדי למצוא את ההופכי של ‎2x^{2}-5x, מצא את ההופכי של כל איבר.

$$2x\sqrt{x^{2}-5x+6}=3-2x^{2}+5x$$

העלה את שני אגפי המשוואה בריבוע.

$$\left(2x\sqrt{x^{2}-5x+6}\right)^{2}=\left(3-2x^{2}+5x\right)^{2}$$

פיתוח ‎\left(2x\sqrt{x^{2}-5x+6}\right)^{2}.

$$2^{2}x^{2}\left(\sqrt{x^{2}-5x+6}\right)^{2}=\left(3-2x^{2}+5x\right)^{2}$$

חשב את 2 בחזקת 2 וקבל 4.

$$4x^{2}\left(\sqrt{x^{2}-5x+6}\right)^{2}=\left(3-2x^{2}+5x\right)^{2}$$

חשב את \sqrt{x^{2}-5x+6} בחזקת 2 וקבל x^{2}-5x+6.

$$4x^{2}\left(x^{2}-5x+6\right)=\left(3-2x^{2}+5x\right)^{2}$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 4x^{2} ב- x^{2}-5x+6.

$$4x^{4}-20x^{3}+24x^{2}=\left(3-2x^{2}+5x\right)^{2}$$

‎3-2x^{2}+5x בריבוע.

$$4x^{4}-20x^{3}+24x^{2}=4x^{4}-20x^{3}+13x^{2}+30x+9$$

החסר ‎4x^{4} משני האגפים.

$$4x^{4}-20x^{3}+24x^{2}-4x^{4}=-20x^{3}+13x^{2}+30x+9$$

כנס את ‎4x^{4} ו- ‎-4x^{4} כדי לקבל ‎0.

$$-20x^{3}+24x^{2}=-20x^{3}+13x^{2}+30x+9$$

הוסף ‎20x^{3} משני הצדדים.

$$-20x^{3}+24x^{2}+20x^{3}=13x^{2}+30x+9$$

כנס את ‎-20x^{3} ו- ‎20x^{3} כדי לקבל ‎0.

$$24x^{2}=13x^{2}+30x+9$$

החסר ‎13x^{2} משני האגפים.

$$24x^{2}-13x^{2}=30x+9$$

כנס את ‎24x^{2} ו- ‎-13x^{2} כדי לקבל ‎11x^{2}.

$$11x^{2}=30x+9$$

החסר ‎30x משני האגפים.

$$11x^{2}-30x=9$$

החסר ‎9 משני האגפים.

$$11x^{2}-30x-9=0$$

כדי לפתור את המשוואה, פרק את האגף השמאלי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את האגף השמאלי כ- 11x^{2}+ax+bx-9. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=-30 ab=11\left(-9\right)=-99$$

מאחר ש- ab הוא שלילי, ל- a ול- b יש סימנים הפוכים. מאחר ש- a+b הוא שלילי, למספר השלילי יש ערך מוחלט גדול יותר מהחיובי. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה -99.

$$1,-99 3,-33 9,-11$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$1-99=-98 3-33=-30 9-11=-2$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום -30.

$$a=-33 b=3$$

שכתב את ‎11x^{2}-30x-9 כ- ‎\left(11x^{2}-33x\right)+\left(3x-9\right).

$$\left(11x^{2}-33x\right)+\left(3x-9\right)$$

הוצא את הגורם המשותף 11x בקבוצה הראשונה ואת 3 בקבוצה השניה.

$$11x\left(x-3\right)+3\left(x-3\right)$$

הוצא את האיבר המשותף x-3 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(x-3\right)\left(11x+3\right)$$

כדי למצוא פתרונות משוואה, פתור את x-3=0 ו- 11x+3=0.

$$x=3 x=-\frac{3}{11}$$

השתמש ב- ‎3 במקום ‎x במשוואה ‎2x^{2}-5x+2x\sqrt{x^{2}-5x+6}=3.

$$2\times 3^{2}-5\times 3+2\times 3\sqrt{3^{2}-5\times 3+6}=3$$

פשט. הערך x=3 פותר את המשוואה.

$$3=3$$

השתמש ב- ‎-\frac{3}{11} במקום ‎x במשוואה ‎2x^{2}-5x+2x\sqrt{x^{2}-5x+6}=3.

$$2\left(-\frac{3}{11}\right)^{2}-5\left(-\frac{3}{11}\right)+2\left(-\frac{3}{11}\right)\sqrt{\left(-\frac{3}{11}\right)^{2}-5\left(-\frac{3}{11}\right)+6}=3$$

פשט. הערך x=-\frac{3}{11} אינו עומד במשוואה.

$$\frac{3}{121}=3$$

למשוואה 2x\sqrt{x^{2}-5x+6}=3+5x-2x^{2} יש פתרון יחיד.

$$x=3$$