פתור את 2x^2-28x+98=0

$$2 x ^ { 2 } - 28 x + 98 = 0$$

פתור עבור x

$$x=7$$

שלבים הכוללים שימוש בפירוק לגורמים על-ידי קיבוץ

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$x^{2}-14x+49=0$$

כדי לפתור את המשוואה, פרק את האגף השמאלי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את האגף השמאלי כ- x^{2}+ax+bx+49. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=-14 ab=1\times 49=49$$

מאחר ש- ab הוא חיובי, ל- a ול- b יש אותו סימן. מאחר ש- a+b הוא שלילי, a ו- b שניהם שליליים. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה 49.

$$-1,-49 -7,-7$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$-1-49=-50 -7-7=-14$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום -14.

$$a=-7 b=-7$$

שכתב את ‎x^{2}-14x+49 כ- ‎\left(x^{2}-7x\right)+\left(-7x+49\right).

$$\left(x^{2}-7x\right)+\left(-7x+49\right)$$

הוצא את הגורם המשותף x בקבוצה הראשונה ואת -7 בקבוצה השניה.

$$x\left(x-7\right)-7\left(x-7\right)$$

הוצא את האיבר המשותף x-7 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(x-7\right)\left(x-7\right)$$

כתוב מחדש כריבוע בינומי.

$$\left(x-7\right)^{2}$$

כדי למצוא פתרון משוואה, פתור את x-7=0.

$$x=7$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$2x^{2}-28x+98=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 2 במקום a, ב- -28 במקום b, וב- 98 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{\left(-28\right)^{2}-4\times 2\times 98}}{2\times 2}$$

‎-28 בריבוע.

$$x=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{784-4\times 2\times 98}}{2\times 2}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎2.

$$x=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{784-8\times 98}}{2\times 2}$$

הכפל את ‎-8 ב- ‎98.

$$x=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{784-784}}{2\times 2}$$

הוסף את ‎784 ל- ‎-784.

$$x=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{0}}{2\times 2}$$

הוצא את השורש הריבועי של 0.

$$x=-\frac{-28}{2\times 2}$$

ההופכי של ‎-28 הוא ‎28.

$$x=\frac{28}{2\times 2}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎2.

$$x=\frac{28}{4}$$

חלק את ‎28 ב- ‎4.

$$x=7$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-28x+98=0$$

החסר ‎98 משני אגפי המשוואה.

$$2x^{2}-28x+98-98=-98$$

החסרת 98 מעצמו נותנת 0.

$$2x^{2}-28x=-98$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$\frac{2x^{2}-28x}{2}=-\frac{98}{2}$$

חילוק ב- ‎2 מבטל את ההכפלה ב- ‎2.

$$x^{2}+\left(-\frac{28}{2}\right)x=-\frac{98}{2}$$

חלק את ‎-28 ב- ‎2.

$$x^{2}-14x=-\frac{98}{2}$$

חלק את ‎-98 ב- ‎2.

$$x^{2}-14x=-49$$

חלק את ‎-14, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎-7. לאחר מכן הוסף את הריבוע של -7 לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$x^{2}-14x+\left(-7\right)^{2}=-49+\left(-7\right)^{2}$$

‎-7 בריבוע.

$$x^{2}-14x+49=-49+49$$

הוסף את ‎-49 ל- ‎49.

$$x^{2}-14x+49=0$$

פרק x^{2}-14x+49 לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-7\right)^{2}=0$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(x-7\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

פשט.

$$x-7=0 x-7=0$$

הוסף ‎7 לשני אגפי המשוואה.

$$x=7 x=7$$

המשוואה נפתרה כעת. הפתרונות זהים.

$$x=7$$