פתור את 2x^2-24x+54=0

$$2 x ^ { 2 } - 24 x + 54 = 0$$

פתור עבור x

$$x=3$$

$$x=9$$

שלבים הכוללים שימוש בפירוק לגורמים על-ידי קיבוץ

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$x^{2}-12x+27=0$$

כדי לפתור את המשוואה, פרק את האגף השמאלי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את האגף השמאלי כ- x^{2}+ax+bx+27. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=-12 ab=1\times 27=27$$

מאחר ש- ab הוא חיובי, ל- a ול- b יש אותו סימן. מאחר ש- a+b הוא שלילי, a ו- b שניהם שליליים. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה 27.

$$-1,-27 -3,-9$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$-1-27=-28 -3-9=-12$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום -12.

$$a=-9 b=-3$$

שכתב את ‎x^{2}-12x+27 כ- ‎\left(x^{2}-9x\right)+\left(-3x+27\right).

$$\left(x^{2}-9x\right)+\left(-3x+27\right)$$

הוצא את הגורם המשותף x בקבוצה הראשונה ואת -3 בקבוצה השניה.

$$x\left(x-9\right)-3\left(x-9\right)$$

הוצא את האיבר המשותף x-9 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(x-9\right)\left(x-3\right)$$

כדי למצוא פתרונות משוואה, פתור את x-9=0 ו- x-3=0.

$$x=9 x=3$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$2x^{2}-24x+54=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 2 במקום a, ב- -24 במקום b, וב- 54 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{\left(-24\right)^{2}-4\times 2\times 54}}{2\times 2}$$

‎-24 בריבוע.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-4\times 2\times 54}}{2\times 2}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎2.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-8\times 54}}{2\times 2}$$

הכפל את ‎-8 ב- ‎54.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-432}}{2\times 2}$$

הוסף את ‎576 ל- ‎-432.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{144}}{2\times 2}$$

הוצא את השורש הריבועי של 144.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±12}{2\times 2}$$

ההופכי של ‎-24 הוא ‎24.

$$x=\frac{24±12}{2\times 2}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎2.

$$x=\frac{24±12}{4}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{24±12}{4} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎24 ל- ‎12.

$$x=\frac{36}{4}$$

חלק את ‎36 ב- ‎4.

$$x=9$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{24±12}{4} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎12 מ- ‎24.

$$x=\frac{12}{4}$$

חלק את ‎12 ב- ‎4.

$$x=3$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$x=9 x=3$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-24x+54=0$$

החסר ‎54 משני אגפי המשוואה.

$$2x^{2}-24x+54-54=-54$$

החסרת 54 מעצמו נותנת 0.

$$2x^{2}-24x=-54$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$\frac{2x^{2}-24x}{2}=-\frac{54}{2}$$

חילוק ב- ‎2 מבטל את ההכפלה ב- ‎2.

$$x^{2}+\left(-\frac{24}{2}\right)x=-\frac{54}{2}$$

חלק את ‎-24 ב- ‎2.

$$x^{2}-12x=-\frac{54}{2}$$

חלק את ‎-54 ב- ‎2.

$$x^{2}-12x=-27$$

חלק את ‎-12, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎-6. לאחר מכן הוסף את הריבוע של -6 לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$x^{2}-12x+\left(-6\right)^{2}=-27+\left(-6\right)^{2}$$

‎-6 בריבוע.

$$x^{2}-12x+36=-27+36$$

הוסף את ‎-27 ל- ‎36.

$$x^{2}-12x+36=9$$

פרק x^{2}-12x+36 לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-6\right)^{2}=9$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(x-6\right)^{2}}=\sqrt{9}$$

פשט.

$$x-6=3 x-6=-3$$

הוסף ‎6 לשני אגפי המשוואה.

$$x=9 x=3$$