פתור את 2x^2-2x-12=28

$$2 x ^ { 2 } - 2 x - 12 = 28$$

פתור עבור x

$$x=-4$$

$$x=5$$

שלבים הכוללים שימוש בפירוק לגורמים על-ידי קיבוץ

החסר ‎28 משני האגפים.

$$2x^{2}-2x-12-28=0$$

החסר את 28 מ- -12 כדי לקבל -40.

$$2x^{2}-2x-40=0$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$x^{2}-x-20=0$$

כדי לפתור את המשוואה, פרק את האגף השמאלי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את האגף השמאלי כ- x^{2}+ax+bx-20. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=-1 ab=1\left(-20\right)=-20$$

מאחר ש- ab הוא שלילי, ל- a ול- b יש סימנים הפוכים. מאחר ש- a+b הוא שלילי, למספר השלילי יש ערך מוחלט גדול יותר מהחיובי. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה -20.

$$1,-20 2,-10 4,-5$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$1-20=-19 2-10=-8 4-5=-1$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום -1.

$$a=-5 b=4$$

שכתב את ‎x^{2}-x-20 כ- ‎\left(x^{2}-5x\right)+\left(4x-20\right).

$$\left(x^{2}-5x\right)+\left(4x-20\right)$$

הוצא את הגורם המשותף x בקבוצה הראשונה ואת 4 בקבוצה השניה.

$$x\left(x-5\right)+4\left(x-5\right)$$

הוצא את האיבר המשותף x-5 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(x-5\right)\left(x+4\right)$$

כדי למצוא פתרונות משוואה, פתור את x-5=0 ו- x+4=0.

$$x=5 x=-4$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$2x^{2}-2x-12=28$$

החסר ‎28 משני אגפי המשוואה.

$$2x^{2}-2x-12-28=28-28$$

החסרת 28 מעצמו נותנת 0.

$$2x^{2}-2x-12-28=0$$

החסר ‎28 מ- ‎-12.

$$2x^{2}-2x-40=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 2 במקום a, ב- -2 במקום b, וב- -40 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 2\left(-40\right)}}{2\times 2}$$

‎-2 בריבוע.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 2\left(-40\right)}}{2\times 2}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-8\left(-40\right)}}{2\times 2}$$

הכפל את ‎-8 ב- ‎-40.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+320}}{2\times 2}$$

הוסף את ‎4 ל- ‎320.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{324}}{2\times 2}$$

הוצא את השורש הריבועי של 324.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±18}{2\times 2}$$

ההופכי של ‎-2 הוא ‎2.

$$x=\frac{2±18}{2\times 2}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎2.

$$x=\frac{2±18}{4}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{2±18}{4} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎2 ל- ‎18.

$$x=\frac{20}{4}$$

חלק את ‎20 ב- ‎4.

$$x=5$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{2±18}{4} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎18 מ- ‎2.

$$x=-\frac{16}{4}$$

חלק את ‎-16 ב- ‎4.

$$x=-4$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$x=5 x=-4$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-2x-12=28$$

הוסף ‎12 לשני אגפי המשוואה.

$$2x^{2}-2x-12-\left(-12\right)=28-\left(-12\right)$$

החסרת -12 מעצמו נותנת 0.

$$2x^{2}-2x=28-\left(-12\right)$$

החסר ‎-12 מ- ‎28.

$$2x^{2}-2x=40$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$\frac{2x^{2}-2x}{2}=\frac{40}{2}$$

חילוק ב- ‎2 מבטל את ההכפלה ב- ‎2.

$$x^{2}+\left(-\frac{2}{2}\right)x=\frac{40}{2}$$

חלק את ‎-2 ב- ‎2.

$$x^{2}-x=\frac{40}{2}$$

חלק את ‎40 ב- ‎2.

$$x^{2}-x=20$$

חלק את ‎-1, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎-\frac{1}{2}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של -\frac{1}{2} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=20+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

העלה את ‎-\frac{1}{2} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=20+\frac{1}{4}$$

הוסף את ‎20 ל- ‎\frac{1}{4}.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{81}{4}$$

פרק את ‎x^{2}-x+\frac{1}{4} לגורמים. באופן כללי, כאשר x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים כ- \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{81}{4}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{4}}$$

פשט.

$$x-\frac{1}{2}=\frac{9}{2} x-\frac{1}{2}=-\frac{9}{2}$$

הוסף ‎\frac{1}{2} לשני אגפי המשוואה.

$$x=5 x=-4$$