פתור את 2x^2-2x-1=0

$$2 x ^ { 2 } - 2 x - 1 = 0$$

פתור עבור x

$$x = \frac{\sqrt{3} + 1}{2} \approx 1.366025404$$

$$x=\frac{1-\sqrt{3}}{2}\approx -0.366025404$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$2x^{2}-2x-1=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 2 במקום a, ב- -2 במקום b, וב- -1 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 2\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

‎-2 בריבוע.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 2\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-8\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

הכפל את ‎-8 ב- ‎-1.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+8}}{2\times 2}$$

הוסף את ‎4 ל- ‎8.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{12}}{2\times 2}$$

הוצא את השורש הריבועי של 12.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±2\sqrt{3}}{2\times 2}$$

ההופכי של ‎-2 הוא ‎2.

$$x=\frac{2±2\sqrt{3}}{2\times 2}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎2.

$$x=\frac{2±2\sqrt{3}}{4}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{2±2\sqrt{3}}{4} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎2 ל- ‎2\sqrt{3}.

$$x=\frac{2\sqrt{3}+2}{4}$$

חלק את ‎2+2\sqrt{3} ב- ‎4.

$$x=\frac{\sqrt{3}+1}{2}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{2±2\sqrt{3}}{4} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎2\sqrt{3} מ- ‎2.

$$x=\frac{2-2\sqrt{3}}{4}$$

חלק את ‎2-2\sqrt{3} ב- ‎4.

$$x=\frac{1-\sqrt{3}}{2}$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$x=\frac{\sqrt{3}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{3}}{2}$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-2x-1=0$$

הוסף ‎1 לשני אגפי המשוואה.

$$2x^{2}-2x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

החסרת -1 מעצמו נותנת 0.

$$2x^{2}-2x=-\left(-1\right)$$

החסר ‎-1 מ- ‎0.

$$2x^{2}-2x=1$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$\frac{2x^{2}-2x}{2}=\frac{1}{2}$$

חילוק ב- ‎2 מבטל את ההכפלה ב- ‎2.

$$x^{2}+\left(-\frac{2}{2}\right)x=\frac{1}{2}$$

חלק את ‎-2 ב- ‎2.

$$x^{2}-x=\frac{1}{2}$$

חלק את ‎-1, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎-\frac{1}{2}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של -\frac{1}{2} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{1}{2}+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

העלה את ‎-\frac{1}{2} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}$$

הוסף את ‎\frac{1}{2} ל- ‎\frac{1}{4} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$$

פרק x^{2}-x+\frac{1}{4} לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{3}{4}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{3}{4}}$$

פשט.

$$x-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2} x-\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$$

הוסף ‎\frac{1}{2} לשני אגפי המשוואה.

$$x=\frac{\sqrt{3}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{3}}{2}$$