פתור את 2x^2-17x+15=0

$$2 x ^ { 2 } - 17 x + 15 = 0$$

פתור עבור x

$$x=1$$

$$x = \frac{15}{2} = 7\frac{1}{2} = 7.5$$

שלבים הכוללים שימוש בפירוק לגורמים על-ידי קיבוץ

כדי לפתור את המשוואה, פרק את האגף השמאלי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את האגף השמאלי כ- 2x^{2}+ax+bx+15. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=-17 ab=2\times 15=30$$

מאחר ש- ab הוא חיובי, ל- a ול- b יש אותו סימן. מאחר ש- a+b הוא שלילי, a ו- b שניהם שליליים. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה 30.

$$-1,-30 -2,-15 -3,-10 -5,-6$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$-1-30=-31 -2-15=-17 -3-10=-13 -5-6=-11$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום -17.

$$a=-15 b=-2$$

שכתב את ‎2x^{2}-17x+15 כ- ‎\left(2x^{2}-15x\right)+\left(-2x+15\right).

$$\left(2x^{2}-15x\right)+\left(-2x+15\right)$$

הוצא את הגורם המשותף x בקבוצה הראשונה ואת -1 בקבוצה השניה.

$$x\left(2x-15\right)-\left(2x-15\right)$$

הוצא את האיבר המשותף 2x-15 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(2x-15\right)\left(x-1\right)$$

כדי למצוא פתרונות משוואה, פתור את 2x-15=0 ו- x-1=0.

$$x=\frac{15}{2} x=1$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$2x^{2}-17x+15=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 2 במקום a, ב- -17 במקום b, וב- 15 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-17\right)±\sqrt{\left(-17\right)^{2}-4\times 2\times 15}}{2\times 2}$$

‎-17 בריבוע.

$$x=\frac{-\left(-17\right)±\sqrt{289-4\times 2\times 15}}{2\times 2}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎2.

$$x=\frac{-\left(-17\right)±\sqrt{289-8\times 15}}{2\times 2}$$

הכפל את ‎-8 ב- ‎15.

$$x=\frac{-\left(-17\right)±\sqrt{289-120}}{2\times 2}$$

הוסף את ‎289 ל- ‎-120.

$$x=\frac{-\left(-17\right)±\sqrt{169}}{2\times 2}$$

הוצא את השורש הריבועי של 169.

$$x=\frac{-\left(-17\right)±13}{2\times 2}$$

ההופכי של ‎-17 הוא ‎17.

$$x=\frac{17±13}{2\times 2}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎2.

$$x=\frac{17±13}{4}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{17±13}{4} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎17 ל- ‎13.

$$x=\frac{30}{4}$$

צמצם את השבר ‎\frac{30}{4} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 2.

$$x=\frac{15}{2}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{17±13}{4} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎13 מ- ‎17.

$$x=\frac{4}{4}$$

חלק את ‎4 ב- ‎4.

$$x=1$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$x=\frac{15}{2} x=1$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-17x+15=0$$

החסר ‎15 משני אגפי המשוואה.

$$2x^{2}-17x+15-15=-15$$

החסרת 15 מעצמו נותנת 0.

$$2x^{2}-17x=-15$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$\frac{2x^{2}-17x}{2}=-\frac{15}{2}$$

חילוק ב- ‎2 מבטל את ההכפלה ב- ‎2.

$$x^{2}-\frac{17}{2}x=-\frac{15}{2}$$

חלק את ‎-\frac{17}{2}, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎-\frac{17}{4}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של -\frac{17}{4} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$x^{2}-\frac{17}{2}x+\left(-\frac{17}{4}\right)^{2}=-\frac{15}{2}+\left(-\frac{17}{4}\right)^{2}$$

העלה את ‎-\frac{17}{4} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$x^{2}-\frac{17}{2}x+\frac{289}{16}=-\frac{15}{2}+\frac{289}{16}$$

הוסף את ‎-\frac{15}{2} ל- ‎\frac{289}{16} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x^{2}-\frac{17}{2}x+\frac{289}{16}=\frac{169}{16}$$

פרק x^{2}-\frac{17}{2}x+\frac{289}{16} לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{17}{4}\right)^{2}=\frac{169}{16}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(x-\frac{17}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{16}}$$

פשט.

$$x-\frac{17}{4}=\frac{13}{4} x-\frac{17}{4}=-\frac{13}{4}$$

הוסף ‎\frac{17}{4} לשני אגפי המשוואה.

$$x=\frac{15}{2} x=1$$