פתור את 2x^2-15x-1=0

$$2 x ^ { 2 } - 15 x - 1 = 0$$

פתור עבור x

$$x = \frac{\sqrt{233} + 15}{4} \approx 7.566084381$$

$$x=\frac{15-\sqrt{233}}{4}\approx -0.066084381$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$2x^{2}-15x-1=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 2 במקום a, ב- -15 במקום b, וב- -1 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{\left(-15\right)^{2}-4\times 2\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

‎-15 בריבוע.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-4\times 2\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎2.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-8\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

הכפל את ‎-8 ב- ‎-1.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225+8}}{2\times 2}$$

הוסף את ‎225 ל- ‎8.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{233}}{2\times 2}$$

ההופכי של ‎-15 הוא ‎15.

$$x=\frac{15±\sqrt{233}}{2\times 2}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎2.

$$x=\frac{15±\sqrt{233}}{4}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{15±\sqrt{233}}{4} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎15 ל- ‎\sqrt{233}.

$$x=\frac{\sqrt{233}+15}{4}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{15±\sqrt{233}}{4} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎\sqrt{233} מ- ‎15.

$$x=\frac{15-\sqrt{233}}{4}$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$x=\frac{\sqrt{233}+15}{4} x=\frac{15-\sqrt{233}}{4}$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-15x-1=0$$

הוסף ‎1 לשני אגפי המשוואה.

$$2x^{2}-15x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

החסרת -1 מעצמו נותנת 0.

$$2x^{2}-15x=-\left(-1\right)$$

החסר ‎-1 מ- ‎0.

$$2x^{2}-15x=1$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$\frac{2x^{2}-15x}{2}=\frac{1}{2}$$

חילוק ב- ‎2 מבטל את ההכפלה ב- ‎2.

$$x^{2}-\frac{15}{2}x=\frac{1}{2}$$

חלק את ‎-\frac{15}{2}, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎-\frac{15}{4}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של -\frac{15}{4} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$x^{2}-\frac{15}{2}x+\left(-\frac{15}{4}\right)^{2}=\frac{1}{2}+\left(-\frac{15}{4}\right)^{2}$$

העלה את ‎-\frac{15}{4} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$x^{2}-\frac{15}{2}x+\frac{225}{16}=\frac{1}{2}+\frac{225}{16}$$

הוסף את ‎\frac{1}{2} ל- ‎\frac{225}{16} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x^{2}-\frac{15}{2}x+\frac{225}{16}=\frac{233}{16}$$

פרק x^{2}-\frac{15}{2}x+\frac{225}{16} לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{15}{4}\right)^{2}=\frac{233}{16}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(x-\frac{15}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{233}{16}}$$

פשט.

$$x-\frac{15}{4}=\frac{\sqrt{233}}{4} x-\frac{15}{4}=-\frac{\sqrt{233}}{4}$$

הוסף ‎\frac{15}{4} לשני אגפי המשוואה.

$$x=\frac{\sqrt{233}+15}{4} x=\frac{15-\sqrt{233}}{4}$$