פתור את 2x^2-13x-24

$$2 x ^ { 2 } - 13 x - 24$$

פרק לגורמים

$$\left(x-8\right)\left(2x+3\right)$$

שלבי פתרון

פרק את הביטוי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את הביטוי כ- 2x^{2}+ax+bx-24. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=-13 ab=2\left(-24\right)=-48$$

מאחר ש- ab הוא שלילי, ל- a ול- b יש סימנים הפוכים. מאחר ש- a+b הוא שלילי, למספר השלילי יש ערך מוחלט גדול יותר מהחיובי. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה -48.

$$1,-48 2,-24 3,-16 4,-12 6,-8$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$1-48=-47 2-24=-22 3-16=-13 4-12=-8 6-8=-2$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום -13.

$$a=-16 b=3$$

שכתב את ‎2x^{2}-13x-24 כ- ‎\left(2x^{2}-16x\right)+\left(3x-24\right).

$$\left(2x^{2}-16x\right)+\left(3x-24\right)$$

הוצא את הגורם המשותף 2x בקבוצה הראשונה ואת 3 בקבוצה השניה.

$$2x\left(x-8\right)+3\left(x-8\right)$$

הוצא את האיבר המשותף x-8 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(x-8\right)\left(2x+3\right)$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפרק פולינום ריבועי לגורמים באמצעות הטרנספורמציה ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎, כאשר x_{1} ו- x_{2} הם הפתרונות של המשוואה הריבועית ax^{2}+bx+c=0.

$$2x^{2}-13x-24=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{\left(-13\right)^{2}-4\times 2\left(-24\right)}}{2\times 2}$$

‎-13 בריבוע.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{169-4\times 2\left(-24\right)}}{2\times 2}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎2.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{169-8\left(-24\right)}}{2\times 2}$$

הכפל את ‎-8 ב- ‎-24.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{169+192}}{2\times 2}$$

הוסף את ‎169 ל- ‎192.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{361}}{2\times 2}$$

הוצא את השורש הריבועי של 361.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±19}{2\times 2}$$

ההופכי של ‎-13 הוא ‎13.

$$x=\frac{13±19}{2\times 2}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎2.

$$x=\frac{13±19}{4}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{13±19}{4} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎13 ל- ‎19.

$$x=\frac{32}{4}$$

חלק את ‎32 ב- ‎4.

$$x=8$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{13±19}{4} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎19 מ- ‎13.

$$x=-\frac{6}{4}$$

צמצם את השבר ‎\frac{-6}{4} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 2.

$$x=-\frac{3}{2}$$

פרק את הביטוי המקורי לגורמים באמצעות ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎. השתמש ב- ‎8 במקום x_{1} וב- ‎-\frac{3}{2} במקום x_{2}.

$$2x^{2}-13x-24=2\left(x-8\right)\left(x-\left(-\frac{3}{2}\right)\right)$$

פשט את כל הביטויים של הצורה ‎p-\left(-q\right)‎ ל- p+q.

$$2x^{2}-13x-24=2\left(x-8\right)\left(x+\frac{3}{2}\right)$$

הוסף את ‎\frac{3}{2} ל- ‎x על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$2x^{2}-13x-24=2\left(x-8\right)\times \frac{2x+3}{2}$$

בטל את הגורם המשותף הגדול ביותר ‎2 ב- ‎2 ו- ‎2.

$$2x^{2}-13x-24=\left(x-8\right)\left(2x+3\right)$$

הערך

$$\left(x-8\right)\left(2x+3\right)$$