פתור את 2x^2-13x+11leq0

$$2 x ^ { 2 } - 13 x + 11 \leq 0$$

פתור עבור x

$$x\in \begin{bmatrix}1,\frac{11}{2}\end{bmatrix}$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

כדי לפתור את אי-השוויון, פרק לגורמים את האגף השמאלי. ניתן לפרק פולינום ריבועי לגורמים באמצעות הטרנספורמציה ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎, כאשר x_{1} ו- x_{2} הם הפתרונות של המשוואה הריבועית ax^{2}+bx+c=0.

$$2x^{2}-13x+11=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: ‎\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}‎. החלף את ‎2 ב- a, את ‎-13 ב- b ואת ‎11 ב- c בנוסחה הריבועית.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{\left(-13\right)^{2}-4\times 2\times 11}}{2\times 2}$$

בצע את החישובים.

$$x=\frac{13±9}{4}$$

פתור את המשוואה ‎x=\frac{13±9}{4} כאשר ± הוא סימן חיבור וכאשר ± הוא סימן חיסור.

$$x=\frac{11}{2} x=1$$

שכתב את אי-שוויון באמצעות הפתרונות שהתקבלו.

$$2\left(x-\frac{11}{2}\right)\left(x-1\right)\leq 0$$

כדי שהמכפלה תהיה ≤0, אחד מהערכים ‎x-\frac{11}{2} ו- ‎x-1 צריך להיות ≥0 והשני צריך להיות ≤0. התבונן במקרה שבו x-\frac{11}{2}\geq 0 ו- x-1\leq 0.

$$x-\frac{11}{2}\geq 0 x-1\leq 0$$

זהו שקר עבור כל x.

$$x\in \emptyset$$

התבונן במקרה שבו x-\frac{11}{2}\leq 0 ו- x-1\geq 0.

$$x-1\geq 0 x-\frac{11}{2}\leq 0$$

הפתרון העונה על שני מצבי אי-השוויון הוא ‎x\in \left[1,\frac{11}{2}\right].

$$x\in \begin{bmatrix}1,\frac{11}{2}\end{bmatrix}$$

הפתרון הסופי הוא האיחוד של הפתרונות שהתקבלו.

$$x\in \begin{bmatrix}1,\frac{11}{2}\end{bmatrix}$$