פתור את 2x^2-11x-40?

$$2 x ^ { 2 } - 11 x - 40 ?$$

פרק לגורמים

$$\left(x-8\right)\left(2x+5\right)$$

שלבי פתרון

פרק את הביטוי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את הביטוי כ- 2x^{2}+ax+bx-40. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=-11 ab=2\left(-40\right)=-80$$

מאחר ש- ab הוא שלילי, ל- a ול- b יש סימנים הפוכים. מאחר ש- a+b הוא שלילי, למספר השלילי יש ערך מוחלט גדול יותר מהחיובי. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה -80.

$$1,-80 2,-40 4,-20 5,-16 8,-10$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$1-80=-79 2-40=-38 4-20=-16 5-16=-11 8-10=-2$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום -11.

$$a=-16 b=5$$

שכתב את ‎2x^{2}-11x-40 כ- ‎\left(2x^{2}-16x\right)+\left(5x-40\right).

$$\left(2x^{2}-16x\right)+\left(5x-40\right)$$

הוצא את הגורם המשותף 2x בקבוצה הראשונה ואת 5 בקבוצה השניה.

$$2x\left(x-8\right)+5\left(x-8\right)$$

הוצא את האיבר המשותף x-8 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(x-8\right)\left(2x+5\right)$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפרק פולינום ריבועי לגורמים באמצעות הטרנספורמציה ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎, כאשר x_{1} ו- x_{2} הם הפתרונות של המשוואה הריבועית ax^{2}+bx+c=0.

$$2x^{2}-11x-40=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\times 2\left(-40\right)}}{2\times 2}$$

‎-11 בריבוע.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\times 2\left(-40\right)}}{2\times 2}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎2.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-8\left(-40\right)}}{2\times 2}$$

הכפל את ‎-8 ב- ‎-40.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121+320}}{2\times 2}$$

הוסף את ‎121 ל- ‎320.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{441}}{2\times 2}$$

הוצא את השורש הריבועי של 441.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±21}{2\times 2}$$

ההופכי של ‎-11 הוא ‎11.

$$x=\frac{11±21}{2\times 2}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎2.

$$x=\frac{11±21}{4}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{11±21}{4} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎11 ל- ‎21.

$$x=\frac{32}{4}$$

חלק את ‎32 ב- ‎4.

$$x=8$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{11±21}{4} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎21 מ- ‎11.

$$x=-\frac{10}{4}$$

צמצם את השבר ‎\frac{-10}{4} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 2.

$$x=-\frac{5}{2}$$

פרק את הביטוי המקורי לגורמים באמצעות ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎. השתמש ב- ‎8 במקום x_{1} וב- ‎-\frac{5}{2} במקום x_{2}.

$$2x^{2}-11x-40=2\left(x-8\right)\left(x-\left(-\frac{5}{2}\right)\right)$$

פשט את כל הביטויים של הצורה ‎p-\left(-q\right)‎ ל- p+q.

$$2x^{2}-11x-40=2\left(x-8\right)\left(x+\frac{5}{2}\right)$$

הוסף את ‎\frac{5}{2} ל- ‎x על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$2x^{2}-11x-40=2\left(x-8\right)\times \frac{2x+5}{2}$$

בטל את הגורם המשותף הגדול ביותר ‎2 ב- ‎2 ו- ‎2.

$$2x^{2}-11x-40=\left(x-8\right)\left(2x+5\right)$$

הערך

$$\left(x-8\right)\left(2x+5\right)$$