פתור את 2x^2-11x-21

$$2 x ^ { 2 } - 11 x - 21$$

פרק לגורמים

$$\left(x-7\right)\left(2x+3\right)$$

שלבי פתרון

פרק את הביטוי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את הביטוי כ- 2x^{2}+ax+bx-21. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=-11 ab=2\left(-21\right)=-42$$

מאחר ש- ab הוא שלילי, ל- a ול- b יש סימנים הפוכים. מאחר ש- a+b הוא שלילי, למספר השלילי יש ערך מוחלט גדול יותר מהחיובי. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה -42.

$$1,-42 2,-21 3,-14 6,-7$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$1-42=-41 2-21=-19 3-14=-11 6-7=-1$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום -11.

$$a=-14 b=3$$

שכתב את ‎2x^{2}-11x-21 כ- ‎\left(2x^{2}-14x\right)+\left(3x-21\right).

$$\left(2x^{2}-14x\right)+\left(3x-21\right)$$

הוצא את הגורם המשותף 2x בקבוצה הראשונה ואת 3 בקבוצה השניה.

$$2x\left(x-7\right)+3\left(x-7\right)$$

הוצא את האיבר המשותף x-7 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(x-7\right)\left(2x+3\right)$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפרק פולינום ריבועי לגורמים באמצעות הטרנספורמציה ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎, כאשר x_{1} ו- x_{2} הם הפתרונות של המשוואה הריבועית ax^{2}+bx+c=0.

$$2x^{2}-11x-21=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\times 2\left(-21\right)}}{2\times 2}$$

‎-11 בריבוע.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\times 2\left(-21\right)}}{2\times 2}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎2.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-8\left(-21\right)}}{2\times 2}$$

הכפל את ‎-8 ב- ‎-21.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121+168}}{2\times 2}$$

הוסף את ‎121 ל- ‎168.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{289}}{2\times 2}$$

הוצא את השורש הריבועי של 289.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±17}{2\times 2}$$

ההופכי של ‎-11 הוא ‎11.

$$x=\frac{11±17}{2\times 2}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎2.

$$x=\frac{11±17}{4}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{11±17}{4} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎11 ל- ‎17.

$$x=\frac{28}{4}$$

חלק את ‎28 ב- ‎4.

$$x=7$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{11±17}{4} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎17 מ- ‎11.

$$x=-\frac{6}{4}$$

צמצם את השבר ‎\frac{-6}{4} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 2.

$$x=-\frac{3}{2}$$

פרק את הביטוי המקורי לגורמים באמצעות ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎. השתמש ב- ‎7 במקום x_{1} וב- ‎-\frac{3}{2} במקום x_{2}.

$$2x^{2}-11x-21=2\left(x-7\right)\left(x-\left(-\frac{3}{2}\right)\right)$$

פשט את כל הביטויים של הצורה ‎p-\left(-q\right)‎ ל- p+q.

$$2x^{2}-11x-21=2\left(x-7\right)\left(x+\frac{3}{2}\right)$$

הוסף את ‎\frac{3}{2} ל- ‎x על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$2x^{2}-11x-21=2\left(x-7\right)\times \frac{2x+3}{2}$$

בטל את הגורם המשותף הגדול ביותר ‎2 ב- ‎2 ו- ‎2.

$$2x^{2}-11x-21=\left(x-7\right)\left(2x+3\right)$$

הערך

$$\left(x-7\right)\left(2x+3\right)$$