פתור את 2x^2+7x-4=0

$$2 x ^ { 2 } + 7 x - 4 = 0$$

פתור עבור x

$$x=-4$$

$$x=\frac{1}{2}=0.5$$

שלבים הכוללים שימוש בפירוק לגורמים על-ידי קיבוץ

כדי לפתור את המשוואה, פרק את האגף השמאלי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את האגף השמאלי כ- 2x^{2}+ax+bx-4. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=7 ab=2\left(-4\right)=-8$$

מאחר ש- ab הוא שלילי, ל- a ול- b יש סימנים הפוכים. מאחר ש- a+b הוא חיובי, למספר החיובי יש ערך מוחלט גדול יותר מהשלילי. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה -8.

$$-1,8 -2,4$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$-1+8=7 -2+4=2$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום 7.

$$a=-1 b=8$$

שכתב את ‎2x^{2}+7x-4 כ- ‎\left(2x^{2}-x\right)+\left(8x-4\right).

$$\left(2x^{2}-x\right)+\left(8x-4\right)$$

הוצא את הגורם המשותף x בקבוצה הראשונה ואת 4 בקבוצה השניה.

$$x\left(2x-1\right)+4\left(2x-1\right)$$

הוצא את האיבר המשותף 2x-1 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(2x-1\right)\left(x+4\right)$$

כדי למצוא פתרונות משוואה, פתור את 2x-1=0 ו- x+4=0.

$$x=\frac{1}{2} x=-4$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$2x^{2}+7x-4=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 2 במקום a, ב- 7 במקום b, וב- -4 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 2\left(-4\right)}}{2\times 2}$$

‎7 בריבוע.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\times 2\left(-4\right)}}{2\times 2}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎2.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-8\left(-4\right)}}{2\times 2}$$

הכפל את ‎-8 ב- ‎-4.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49+32}}{2\times 2}$$

הוסף את ‎49 ל- ‎32.

$$x=\frac{-7±\sqrt{81}}{2\times 2}$$

הוצא את השורש הריבועי של 81.

$$x=\frac{-7±9}{2\times 2}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎2.

$$x=\frac{-7±9}{4}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-7±9}{4} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎-7 ל- ‎9.

$$x=\frac{2}{4}$$

צמצם את השבר ‎\frac{2}{4} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 2.

$$x=\frac{1}{2}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-7±9}{4} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎9 מ- ‎-7.

$$x=-\frac{16}{4}$$

חלק את ‎-16 ב- ‎4.

$$x=-4$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$x=\frac{1}{2} x=-4$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}+7x-4=0$$

הוסף ‎4 לשני אגפי המשוואה.

$$2x^{2}+7x-4-\left(-4\right)=-\left(-4\right)$$

החסרת -4 מעצמו נותנת 0.

$$2x^{2}+7x=-\left(-4\right)$$

החסר ‎-4 מ- ‎0.

$$2x^{2}+7x=4$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$\frac{2x^{2}+7x}{2}=\frac{4}{2}$$

חילוק ב- ‎2 מבטל את ההכפלה ב- ‎2.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x=\frac{4}{2}$$

חלק את ‎4 ב- ‎2.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x=2$$

חלק את ‎\frac{7}{2}, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎\frac{7}{4}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של \frac{7}{4} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x+\left(\frac{7}{4}\right)^{2}=2+\left(\frac{7}{4}\right)^{2}$$

העלה את ‎\frac{7}{4} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}=2+\frac{49}{16}$$

הוסף את ‎2 ל- ‎\frac{49}{16}.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}=\frac{81}{16}$$

פרק את ‎x^{2}+\frac{7}{2}x+\frac{49}{16} לגורמים. באופן כללי, כאשר x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים כ- \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{7}{4}\right)^{2}=\frac{81}{16}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{16}}$$

פשט.

$$x+\frac{7}{4}=\frac{9}{4} x+\frac{7}{4}=-\frac{9}{4}$$

החסר ‎\frac{7}{4} משני אגפי המשוואה.

$$x=\frac{1}{2} x=-4$$