פתור את 2x^2+7x-30

$$2 x ^ { 2 } + 7 x - 30$$

פרק לגורמים

$$\left(2x-5\right)\left(x+6\right)$$

שלבי פתרון

פרק את הביטוי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את הביטוי כ- 2x^{2}+ax+bx-30. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=7 ab=2\left(-30\right)=-60$$

מאחר ש- ab הוא שלילי, ל- a ול- b יש סימנים הפוכים. מאחר ש- a+b הוא חיובי, למספר החיובי יש ערך מוחלט גדול יותר מהשלילי. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה -60.

$$-1,60 -2,30 -3,20 -4,15 -5,12 -6,10$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$-1+60=59 -2+30=28 -3+20=17 -4+15=11 -5+12=7 -6+10=4$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום 7.

$$a=-5 b=12$$

שכתב את ‎2x^{2}+7x-30 כ- ‎\left(2x^{2}-5x\right)+\left(12x-30\right).

$$\left(2x^{2}-5x\right)+\left(12x-30\right)$$

הוצא את הגורם המשותף x בקבוצה הראשונה ואת 6 בקבוצה השניה.

$$x\left(2x-5\right)+6\left(2x-5\right)$$

הוצא את האיבר המשותף 2x-5 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(2x-5\right)\left(x+6\right)$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפרק פולינום ריבועי לגורמים באמצעות הטרנספורמציה ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎, כאשר x_{1} ו- x_{2} הם הפתרונות של המשוואה הריבועית ax^{2}+bx+c=0.

$$2x^{2}+7x-30=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 2\left(-30\right)}}{2\times 2}$$

‎7 בריבוע.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\times 2\left(-30\right)}}{2\times 2}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎2.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-8\left(-30\right)}}{2\times 2}$$

הכפל את ‎-8 ב- ‎-30.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49+240}}{2\times 2}$$

הוסף את ‎49 ל- ‎240.

$$x=\frac{-7±\sqrt{289}}{2\times 2}$$

הוצא את השורש הריבועי של 289.

$$x=\frac{-7±17}{2\times 2}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎2.

$$x=\frac{-7±17}{4}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-7±17}{4} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎-7 ל- ‎17.

$$x=\frac{10}{4}$$

צמצם את השבר ‎\frac{10}{4} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 2.

$$x=\frac{5}{2}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-7±17}{4} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎17 מ- ‎-7.

$$x=-\frac{24}{4}$$

חלק את ‎-24 ב- ‎4.

$$x=-6$$

פרק את הביטוי המקורי לגורמים באמצעות ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎. השתמש ב- ‎\frac{5}{2} במקום x_{1} וב- ‎-6 במקום x_{2}.

$$2x^{2}+7x-30=2\left(x-\frac{5}{2}\right)\left(x-\left(-6\right)\right)$$

פשט את כל הביטויים של הצורה ‎p-\left(-q\right)‎ ל- p+q.

$$2x^{2}+7x-30=2\left(x-\frac{5}{2}\right)\left(x+6\right)$$

החסר את x מ- \frac{5}{2} על-ידי מציאת מכנה משותף והחסרת המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$2x^{2}+7x-30=2\times \frac{2x-5}{2}\left(x+6\right)$$

בטל את הגורם המשותף הגדול ביותר ‎2 ב- ‎2 ו- ‎2.

$$2x^{2}+7x-30=\left(2x-5\right)\left(x+6\right)$$

הערך

$$\left(2x-5\right)\left(x+6\right)$$