פתור את 2x^2+7x-15=0

$$2 x ^ { 2 } + 7 x - 15 = 0$$

פתור עבור x

$$x=-5$$

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1.5$$

שלבים הכוללים שימוש בפירוק לגורמים על-ידי קיבוץ

כדי לפתור את המשוואה, פרק את האגף השמאלי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את האגף השמאלי כ- 2x^{2}+ax+bx-15. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=7 ab=2\left(-15\right)=-30$$

מאחר ש- ab הוא שלילי, ל- a ול- b יש סימנים הפוכים. מאחר ש- a+b הוא חיובי, למספר החיובי יש ערך מוחלט גדול יותר מהשלילי. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה -30.

$$-1,30 -2,15 -3,10 -5,6$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$-1+30=29 -2+15=13 -3+10=7 -5+6=1$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום 7.

$$a=-3 b=10$$

שכתב את ‎2x^{2}+7x-15 כ- ‎\left(2x^{2}-3x\right)+\left(10x-15\right).

$$\left(2x^{2}-3x\right)+\left(10x-15\right)$$

הוצא את הגורם המשותף x בקבוצה הראשונה ואת 5 בקבוצה השניה.

$$x\left(2x-3\right)+5\left(2x-3\right)$$

הוצא את האיבר המשותף 2x-3 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(2x-3\right)\left(x+5\right)$$

כדי למצוא פתרונות משוואה, פתור את 2x-3=0 ו- x+5=0.

$$x=\frac{3}{2} x=-5$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$2x^{2}+7x-15=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 2 במקום a, ב- 7 במקום b, וב- -15 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 2\left(-15\right)}}{2\times 2}$$

‎7 בריבוע.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\times 2\left(-15\right)}}{2\times 2}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎2.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-8\left(-15\right)}}{2\times 2}$$

הכפל את ‎-8 ב- ‎-15.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49+120}}{2\times 2}$$

הוסף את ‎49 ל- ‎120.

$$x=\frac{-7±\sqrt{169}}{2\times 2}$$

הוצא את השורש הריבועי של 169.

$$x=\frac{-7±13}{2\times 2}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎2.

$$x=\frac{-7±13}{4}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-7±13}{4} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎-7 ל- ‎13.

$$x=\frac{6}{4}$$

צמצם את השבר ‎\frac{6}{4} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 2.

$$x=\frac{3}{2}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-7±13}{4} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎13 מ- ‎-7.

$$x=-\frac{20}{4}$$

חלק את ‎-20 ב- ‎4.

$$x=-5$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$x=\frac{3}{2} x=-5$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}+7x-15=0$$

הוסף ‎15 לשני אגפי המשוואה.

$$2x^{2}+7x-15-\left(-15\right)=-\left(-15\right)$$

החסרת -15 מעצמו נותנת 0.

$$2x^{2}+7x=-\left(-15\right)$$

החסר ‎-15 מ- ‎0.

$$2x^{2}+7x=15$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$\frac{2x^{2}+7x}{2}=\frac{15}{2}$$

חילוק ב- ‎2 מבטל את ההכפלה ב- ‎2.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x=\frac{15}{2}$$

חלק את ‎\frac{7}{2}, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎\frac{7}{4}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של \frac{7}{4} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x+\left(\frac{7}{4}\right)^{2}=\frac{15}{2}+\left(\frac{7}{4}\right)^{2}$$

העלה את ‎\frac{7}{4} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}=\frac{15}{2}+\frac{49}{16}$$

הוסף את ‎\frac{15}{2} ל- ‎\frac{49}{16} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}=\frac{169}{16}$$

פרק x^{2}+\frac{7}{2}x+\frac{49}{16} לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{7}{4}\right)^{2}=\frac{169}{16}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{16}}$$

פשט.

$$x+\frac{7}{4}=\frac{13}{4} x+\frac{7}{4}=-\frac{13}{4}$$

החסר ‎\frac{7}{4} משני אגפי המשוואה.

$$x=\frac{3}{2} x=-5$$