פתור את 2x^2+7x+5=0

$$2 x ^ { 2 } + 7 x + 5 = 0$$

פתור עבור x

$$x = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2.5$$

$$x=-1$$

שלבים הכוללים שימוש בפירוק לגורמים על-ידי קיבוץ

כדי לפתור את המשוואה, פרק את האגף השמאלי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את האגף השמאלי כ- 2x^{2}+ax+bx+5. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=7 ab=2\times 5=10$$

מאחר ש- ab הוא חיובי, ל- a ול- b יש אותו סימן. מאחר ש- a+b הוא חיובי, a ו- b שניהם חיוביים. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה 10.

$$1,10 2,5$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$1+10=11 2+5=7$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום 7.

$$a=2 b=5$$

שכתב את ‎2x^{2}+7x+5 כ- ‎\left(2x^{2}+2x\right)+\left(5x+5\right).

$$\left(2x^{2}+2x\right)+\left(5x+5\right)$$

הוצא את הגורם המשותף 2x בקבוצה הראשונה ואת 5 בקבוצה השניה.

$$2x\left(x+1\right)+5\left(x+1\right)$$

הוצא את האיבר המשותף x+1 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(x+1\right)\left(2x+5\right)$$

כדי למצוא פתרונות משוואה, פתור את x+1=0 ו- 2x+5=0.

$$x=-1 x=-\frac{5}{2}$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$2x^{2}+7x+5=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 2 במקום a, ב- 7 במקום b, וב- 5 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 2\times 5}}{2\times 2}$$

‎7 בריבוע.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\times 2\times 5}}{2\times 2}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎2.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-8\times 5}}{2\times 2}$$

הכפל את ‎-8 ב- ‎5.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-40}}{2\times 2}$$

הוסף את ‎49 ל- ‎-40.

$$x=\frac{-7±\sqrt{9}}{2\times 2}$$

הוצא את השורש הריבועי של 9.

$$x=\frac{-7±3}{2\times 2}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎2.

$$x=\frac{-7±3}{4}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-7±3}{4} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎-7 ל- ‎3.

$$x=-\frac{4}{4}$$

חלק את ‎-4 ב- ‎4.

$$x=-1$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-7±3}{4} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎3 מ- ‎-7.

$$x=-\frac{10}{4}$$

צמצם את השבר ‎\frac{-10}{4} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 2.

$$x=-\frac{5}{2}$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$x=-1 x=-\frac{5}{2}$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}+7x+5=0$$

החסר ‎5 משני אגפי המשוואה.

$$2x^{2}+7x+5-5=-5$$

החסרת 5 מעצמו נותנת 0.

$$2x^{2}+7x=-5$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$\frac{2x^{2}+7x}{2}=-\frac{5}{2}$$

חילוק ב- ‎2 מבטל את ההכפלה ב- ‎2.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x=-\frac{5}{2}$$

חלק את ‎\frac{7}{2}, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎\frac{7}{4}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של \frac{7}{4} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x+\left(\frac{7}{4}\right)^{2}=-\frac{5}{2}+\left(\frac{7}{4}\right)^{2}$$

העלה את ‎\frac{7}{4} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}=-\frac{5}{2}+\frac{49}{16}$$

הוסף את ‎-\frac{5}{2} ל- ‎\frac{49}{16} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}=\frac{9}{16}$$

פרק x^{2}+\frac{7}{2}x+\frac{49}{16} לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{7}{4}\right)^{2}=\frac{9}{16}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{16}}$$

פשט.

$$x+\frac{7}{4}=\frac{3}{4} x+\frac{7}{4}=-\frac{3}{4}$$

החסר ‎\frac{7}{4} משני אגפי המשוואה.

$$x=-1 x=-\frac{5}{2}$$