פתור את 2x^2+6x+12=0

$$2 x ^ { 2 } + 6 x + 12 = 0$$

פתור עבור x (complex solution)

$$x=\frac{-3+\sqrt{15}i}{2}\approx -1.5+1.936491673i$$

$$x=\frac{-\sqrt{15}i-3}{2}\approx -1.5-1.936491673i$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$2x^{2}+6x+12=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 2 במקום a, ב- 6 במקום b, וב- 12 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\times 2\times 12}}{2\times 2}$$

‎6 בריבוע.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-4\times 2\times 12}}{2\times 2}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎2.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-8\times 12}}{2\times 2}$$

הכפל את ‎-8 ב- ‎12.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-96}}{2\times 2}$$

הוסף את ‎36 ל- ‎-96.

$$x=\frac{-6±\sqrt{-60}}{2\times 2}$$

הוצא את השורש הריבועי של -60.

$$x=\frac{-6±2\sqrt{15}i}{2\times 2}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎2.

$$x=\frac{-6±2\sqrt{15}i}{4}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-6±2\sqrt{15}i}{4} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎-6 ל- ‎2i\sqrt{15}.

$$x=\frac{-6+2\sqrt{15}i}{4}$$

חלק את ‎-6+2i\sqrt{15} ב- ‎4.

$$x=\frac{-3+\sqrt{15}i}{2}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-6±2\sqrt{15}i}{4} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎2i\sqrt{15} מ- ‎-6.

$$x=\frac{-2\sqrt{15}i-6}{4}$$

חלק את ‎-6-2i\sqrt{15} ב- ‎4.

$$x=\frac{-\sqrt{15}i-3}{2}$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$x=\frac{-3+\sqrt{15}i}{2} x=\frac{-\sqrt{15}i-3}{2}$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}+6x+12=0$$

החסר ‎12 משני אגפי המשוואה.

$$2x^{2}+6x+12-12=-12$$

החסרת 12 מעצמו נותנת 0.

$$2x^{2}+6x=-12$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$\frac{2x^{2}+6x}{2}=-\frac{12}{2}$$

חילוק ב- ‎2 מבטל את ההכפלה ב- ‎2.

$$x^{2}+\frac{6}{2}x=-\frac{12}{2}$$

חלק את ‎6 ב- ‎2.

$$x^{2}+3x=-\frac{12}{2}$$

חלק את ‎-12 ב- ‎2.

$$x^{2}+3x=-6$$

חלק את ‎3, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎\frac{3}{2}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של \frac{3}{2} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$x^{2}+3x+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=-6+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}$$

העלה את ‎\frac{3}{2} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=-6+\frac{9}{4}$$

הוסף את ‎-6 ל- ‎\frac{9}{4}.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=-\frac{15}{4}$$

פרק x^{2}+3x+\frac{9}{4} לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}=-\frac{15}{4}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{15}{4}}$$

פשט.

$$x+\frac{3}{2}=\frac{\sqrt{15}i}{2} x+\frac{3}{2}=-\frac{\sqrt{15}i}{2}$$

החסר ‎\frac{3}{2} משני אגפי המשוואה.

$$x=\frac{-3+\sqrt{15}i}{2} x=\frac{-\sqrt{15}i-3}{2}$$