פתור את 2x^2+3x-2=63

$$2 x ^ { 2 } + 3 x - 2 = 63$$

פתור עבור x

$$x = -\frac{13}{2} = -6\frac{1}{2} = -6.5$$

$$x=5$$

שלבים הכוללים שימוש בפירוק לגורמים על-ידי קיבוץ

החסר ‎63 משני האגפים.

$$2x^{2}+3x-2-63=0$$

החסר את 63 מ- -2 כדי לקבל -65.

$$2x^{2}+3x-65=0$$

כדי לפתור את המשוואה, פרק את האגף השמאלי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את האגף השמאלי כ- 2x^{2}+ax+bx-65. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=3 ab=2\left(-65\right)=-130$$

מאחר ש- ab הוא שלילי, ל- a ול- b יש סימנים הפוכים. מאחר ש- a+b הוא חיובי, למספר החיובי יש ערך מוחלט גדול יותר מהשלילי. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה -130.

$$-1,130 -2,65 -5,26 -10,13$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$-1+130=129 -2+65=63 -5+26=21 -10+13=3$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום 3.

$$a=-10 b=13$$

שכתב את ‎2x^{2}+3x-65 כ- ‎\left(2x^{2}-10x\right)+\left(13x-65\right).

$$\left(2x^{2}-10x\right)+\left(13x-65\right)$$

הוצא את הגורם המשותף 2x בקבוצה הראשונה ואת 13 בקבוצה השניה.

$$2x\left(x-5\right)+13\left(x-5\right)$$

הוצא את האיבר המשותף x-5 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(x-5\right)\left(2x+13\right)$$

כדי למצוא פתרונות משוואה, פתור את x-5=0 ו- 2x+13=0.

$$x=5 x=-\frac{13}{2}$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$2x^{2}+3x-2=63$$

החסר ‎63 משני אגפי המשוואה.

$$2x^{2}+3x-2-63=63-63$$

החסרת 63 מעצמו נותנת 0.

$$2x^{2}+3x-2-63=0$$

החסר ‎63 מ- ‎-2.

$$2x^{2}+3x-65=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 2 במקום a, ב- 3 במקום b, וב- -65 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 2\left(-65\right)}}{2\times 2}$$

‎3 בריבוע.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\times 2\left(-65\right)}}{2\times 2}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎2.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-8\left(-65\right)}}{2\times 2}$$

הכפל את ‎-8 ב- ‎-65.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+520}}{2\times 2}$$

הוסף את ‎9 ל- ‎520.

$$x=\frac{-3±\sqrt{529}}{2\times 2}$$

הוצא את השורש הריבועי של 529.

$$x=\frac{-3±23}{2\times 2}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎2.

$$x=\frac{-3±23}{4}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-3±23}{4} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎-3 ל- ‎23.

$$x=\frac{20}{4}$$

חלק את ‎20 ב- ‎4.

$$x=5$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-3±23}{4} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎23 מ- ‎-3.

$$x=-\frac{26}{4}$$

צמצם את השבר ‎\frac{-26}{4} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 2.

$$x=-\frac{13}{2}$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$x=5 x=-\frac{13}{2}$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}+3x-2=63$$

הוסף ‎2 לשני אגפי המשוואה.

$$2x^{2}+3x-2-\left(-2\right)=63-\left(-2\right)$$

החסרת -2 מעצמו נותנת 0.

$$2x^{2}+3x=63-\left(-2\right)$$

החסר ‎-2 מ- ‎63.

$$2x^{2}+3x=65$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$\frac{2x^{2}+3x}{2}=\frac{65}{2}$$

חילוק ב- ‎2 מבטל את ההכפלה ב- ‎2.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x=\frac{65}{2}$$

חלק את ‎\frac{3}{2}, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎\frac{3}{4}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של \frac{3}{4} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\left(\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{65}{2}+\left(\frac{3}{4}\right)^{2}$$

העלה את ‎\frac{3}{4} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=\frac{65}{2}+\frac{9}{16}$$

הוסף את ‎\frac{65}{2} ל- ‎\frac{9}{16} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=\frac{529}{16}$$

פרק x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16} לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{529}{16}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{529}{16}}$$

פשט.

$$x+\frac{3}{4}=\frac{23}{4} x+\frac{3}{4}=-\frac{23}{4}$$

החסר ‎\frac{3}{4} משני אגפי המשוואה.

$$x=5 x=-\frac{13}{2}$$