פתור את 2x^2+29x-48

$$2 x ^ { 2 } + 29 x - 48$$

פרק לגורמים

$$\left(2x-3\right)\left(x+16\right)$$

שלבי פתרון

פרק את הביטוי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את הביטוי כ- 2x^{2}+ax+bx-48. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=29 ab=2\left(-48\right)=-96$$

מאחר ש- ab הוא שלילי, ל- a ול- b יש סימנים הפוכים. מאחר ש- a+b הוא חיובי, למספר החיובי יש ערך מוחלט גדול יותר מהשלילי. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה -96.

$$-1,96 -2,48 -3,32 -4,24 -6,16 -8,12$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$-1+96=95 -2+48=46 -3+32=29 -4+24=20 -6+16=10 -8+12=4$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום 29.

$$a=-3 b=32$$

שכתב את ‎2x^{2}+29x-48 כ- ‎\left(2x^{2}-3x\right)+\left(32x-48\right).

$$\left(2x^{2}-3x\right)+\left(32x-48\right)$$

הוצא את הגורם המשותף x בקבוצה הראשונה ואת 16 בקבוצה השניה.

$$x\left(2x-3\right)+16\left(2x-3\right)$$

הוצא את האיבר המשותף 2x-3 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(2x-3\right)\left(x+16\right)$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפרק פולינום ריבועי לגורמים באמצעות הטרנספורמציה ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎, כאשר x_{1} ו- x_{2} הם הפתרונות של המשוואה הריבועית ax^{2}+bx+c=0.

$$2x^{2}+29x-48=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$x=\frac{-29±\sqrt{29^{2}-4\times 2\left(-48\right)}}{2\times 2}$$

‎29 בריבוע.

$$x=\frac{-29±\sqrt{841-4\times 2\left(-48\right)}}{2\times 2}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎2.

$$x=\frac{-29±\sqrt{841-8\left(-48\right)}}{2\times 2}$$

הכפל את ‎-8 ב- ‎-48.

$$x=\frac{-29±\sqrt{841+384}}{2\times 2}$$

הוסף את ‎841 ל- ‎384.

$$x=\frac{-29±\sqrt{1225}}{2\times 2}$$

הוצא את השורש הריבועי של 1225.

$$x=\frac{-29±35}{2\times 2}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎2.

$$x=\frac{-29±35}{4}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-29±35}{4} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎-29 ל- ‎35.

$$x=\frac{6}{4}$$

צמצם את השבר ‎\frac{6}{4} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 2.

$$x=\frac{3}{2}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-29±35}{4} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎35 מ- ‎-29.

$$x=-\frac{64}{4}$$

חלק את ‎-64 ב- ‎4.

$$x=-16$$

פרק את הביטוי המקורי לגורמים באמצעות ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎. השתמש ב- ‎\frac{3}{2} במקום x_{1} וב- ‎-16 במקום x_{2}.

$$2x^{2}+29x-48=2\left(x-\frac{3}{2}\right)\left(x-\left(-16\right)\right)$$

פשט את כל הביטויים של הצורה ‎p-\left(-q\right)‎ ל- p+q.

$$2x^{2}+29x-48=2\left(x-\frac{3}{2}\right)\left(x+16\right)$$

החסר את x מ- \frac{3}{2} על-ידי מציאת מכנה משותף והחסרת המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$2x^{2}+29x-48=2\times \frac{2x-3}{2}\left(x+16\right)$$

בטל את הגורם המשותף הגדול ביותר ‎2 ב- ‎2 ו- ‎2.

$$2x^{2}+29x-48=\left(2x-3\right)\left(x+16\right)$$

הערך

$$\left(2x-3\right)\left(x+16\right)$$