פתור את 2x^2+2x+1=0

$$2 x ^ { 2 } + 2 x + 1 = 0$$

פתור עבור x (complex solution)

$$x=-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i=-0.5+0.5i$$

$$x=-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}i=-0.5-0.5i$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$2x^{2}+2x+1=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 2 במקום a, ב- 2 במקום b, וב- 1 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\times 2}}{2\times 2}$$

‎2 בריבוע.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\times 2}}{2\times 2}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎2.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-8}}{2\times 2}$$

הוסף את ‎4 ל- ‎-8.

$$x=\frac{-2±\sqrt{-4}}{2\times 2}$$

הוצא את השורש הריבועי של -4.

$$x=\frac{-2±2i}{2\times 2}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎2.

$$x=\frac{-2±2i}{4}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-2±2i}{4} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎-2 ל- ‎2i.

$$x=\frac{-2+2i}{4}$$

חלק את ‎-2+2i ב- ‎4.

$$x=-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-2±2i}{4} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎2i מ- ‎-2.

$$x=\frac{-2-2i}{4}$$

חלק את ‎-2-2i ב- ‎4.

$$x=-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}i$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$x=-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i x=-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}i$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}+2x+1=0$$

החסר ‎1 משני אגפי המשוואה.

$$2x^{2}+2x+1-1=-1$$

החסרת 1 מעצמו נותנת 0.

$$2x^{2}+2x=-1$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$\frac{2x^{2}+2x}{2}=-\frac{1}{2}$$

חילוק ב- ‎2 מבטל את ההכפלה ב- ‎2.

$$x^{2}+\frac{2}{2}x=-\frac{1}{2}$$

חלק את ‎2 ב- ‎2.

$$x^{2}+x=-\frac{1}{2}$$

חלק את ‎1, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎\frac{1}{2}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של \frac{1}{2} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

העלה את ‎\frac{1}{2} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=-\frac{1}{2}+\frac{1}{4}$$

הוסף את ‎-\frac{1}{2} ל- ‎\frac{1}{4} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=-\frac{1}{4}$$

פרק x^{2}+x+\frac{1}{4} לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{1}{4}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{1}{4}}$$

פשט.

$$x+\frac{1}{2}=\frac{1}{2}i x+\frac{1}{2}=-\frac{1}{2}i$$

החסר ‎\frac{1}{2} משני אגפי המשוואה.

$$x=-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i x=-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}i$$