פתור את 2x^2+17x+21=0

$$2 x ^ { 2 } + 17 x + 21 = 0$$

פתור עבור x

$$x=-7$$

$$x = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1.5$$

שלבים הכוללים שימוש בפירוק לגורמים על-ידי קיבוץ

כדי לפתור את המשוואה, פרק את האגף השמאלי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את האגף השמאלי כ- 2x^{2}+ax+bx+21. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=17 ab=2\times 21=42$$

מאחר ש- ab הוא חיובי, ל- a ול- b יש אותו סימן. מאחר ש- a+b הוא חיובי, a ו- b שניהם חיוביים. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה 42.

$$1,42 2,21 3,14 6,7$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$1+42=43 2+21=23 3+14=17 6+7=13$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום 17.

$$a=3 b=14$$

שכתב את ‎2x^{2}+17x+21 כ- ‎\left(2x^{2}+3x\right)+\left(14x+21\right).

$$\left(2x^{2}+3x\right)+\left(14x+21\right)$$

הוצא את הגורם המשותף x בקבוצה הראשונה ואת 7 בקבוצה השניה.

$$x\left(2x+3\right)+7\left(2x+3\right)$$

הוצא את האיבר המשותף 2x+3 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(2x+3\right)\left(x+7\right)$$

כדי למצוא פתרונות משוואה, פתור את 2x+3=0 ו- x+7=0.

$$x=-\frac{3}{2} x=-7$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$2x^{2}+17x+21=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 2 במקום a, ב- 17 במקום b, וב- 21 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-17±\sqrt{17^{2}-4\times 2\times 21}}{2\times 2}$$

‎17 בריבוע.

$$x=\frac{-17±\sqrt{289-4\times 2\times 21}}{2\times 2}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎2.

$$x=\frac{-17±\sqrt{289-8\times 21}}{2\times 2}$$

הכפל את ‎-8 ב- ‎21.

$$x=\frac{-17±\sqrt{289-168}}{2\times 2}$$

הוסף את ‎289 ל- ‎-168.

$$x=\frac{-17±\sqrt{121}}{2\times 2}$$

הוצא את השורש הריבועי של 121.

$$x=\frac{-17±11}{2\times 2}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎2.

$$x=\frac{-17±11}{4}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-17±11}{4} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎-17 ל- ‎11.

$$x=-\frac{6}{4}$$

צמצם את השבר ‎\frac{-6}{4} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 2.

$$x=-\frac{3}{2}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-17±11}{4} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎11 מ- ‎-17.

$$x=-\frac{28}{4}$$

חלק את ‎-28 ב- ‎4.

$$x=-7$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$x=-\frac{3}{2} x=-7$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}+17x+21=0$$

החסר ‎21 משני אגפי המשוואה.

$$2x^{2}+17x+21-21=-21$$

החסרת 21 מעצמו נותנת 0.

$$2x^{2}+17x=-21$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$\frac{2x^{2}+17x}{2}=-\frac{21}{2}$$

חילוק ב- ‎2 מבטל את ההכפלה ב- ‎2.

$$x^{2}+\frac{17}{2}x=-\frac{21}{2}$$

חלק את ‎\frac{17}{2}, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎\frac{17}{4}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של \frac{17}{4} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$x^{2}+\frac{17}{2}x+\left(\frac{17}{4}\right)^{2}=-\frac{21}{2}+\left(\frac{17}{4}\right)^{2}$$

העלה את ‎\frac{17}{4} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$x^{2}+\frac{17}{2}x+\frac{289}{16}=-\frac{21}{2}+\frac{289}{16}$$

הוסף את ‎-\frac{21}{2} ל- ‎\frac{289}{16} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x^{2}+\frac{17}{2}x+\frac{289}{16}=\frac{121}{16}$$

פרק x^{2}+\frac{17}{2}x+\frac{289}{16} לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{17}{4}\right)^{2}=\frac{121}{16}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(x+\frac{17}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{16}}$$

פשט.

$$x+\frac{17}{4}=\frac{11}{4} x+\frac{17}{4}=-\frac{11}{4}$$

החסר ‎\frac{17}{4} משני אגפי המשוואה.

$$x=-\frac{3}{2} x=-7$$