פתור את 2x=20+3y,y=x-13/2

$$2 x = 20 + 3 y , y = \frac { x - 13 } { 2 }$$

פתור עבור x, y

$$x=1$$

$$y=-6$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

שקול את המשוואה הראשונה. החסר ‎3y משני האגפים.

$$2x-3y=20$$

שקול את המשוואה השניה. חלק כל איבר של ‎x-13 ב- ‎2 כדי לקבל ‎\frac{1}{2}x-\frac{13}{2}.

$$y=\frac{1}{2}x-\frac{13}{2}$$

החסר ‎\frac{1}{2}x משני האגפים.

$$y-\frac{1}{2}x=-\frac{13}{2}$$

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$2x-3y=20,-\frac{1}{2}x+y=-\frac{13}{2}$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$2x-3y=20$$

הוסף ‎3y לשני אגפי המשוואה.

$$2x=3y+20$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y+20\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{2} ב- ‎3y+20.

$$x=\frac{3}{2}y+10$$

השתמש ב- ‎\frac{3y}{2}+10 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎-\frac{1}{2}x+y=-\frac{13}{2}.

$$-\frac{1}{2}\left(\frac{3}{2}y+10\right)+y=-\frac{13}{2}$$

הכפל את ‎-\frac{1}{2} ב- ‎\frac{3y}{2}+10.

$$-\frac{3}{4}y-5+y=-\frac{13}{2}$$

הוסף את ‎-\frac{3y}{4} ל- ‎y.

$$\frac{1}{4}y-5=-\frac{13}{2}$$

הוסף ‎5 לשני אגפי המשוואה.

$$\frac{1}{4}y=-\frac{3}{2}$$

הכפל את שני האגפים ב- ‎4.

$$y=-6$$

השתמש ב- ‎-6 במקום y ב- ‎x=\frac{3}{2}y+10. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=\frac{3}{2}\left(-6\right)+10$$

הכפל את ‎\frac{3}{2} ב- ‎-6.

$$x=-9+10$$

הוסף את ‎10 ל- ‎-9.

$$x=1$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=1,y=-6$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

שקול את המשוואה הראשונה. החסר ‎3y משני האגפים.

$$2x-3y=20$$

שקול את המשוואה השניה. חלק כל איבר של ‎x-13 ב- ‎2 כדי לקבל ‎\frac{1}{2}x-\frac{13}{2}.

$$y=\frac{1}{2}x-\frac{13}{2}$$

החסר ‎\frac{1}{2}x משני האגפים.

$$y-\frac{1}{2}x=-\frac{13}{2}$$

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$2x-3y=20,-\frac{1}{2}x+y=-\frac{13}{2}$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\-\frac{1}{2}&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}20\\-\frac{13}{2}\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}2&-3\\-\frac{1}{2}&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\-\frac{1}{2}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\-\frac{1}{2}&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\-\frac{1}{2}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\-\frac{13}{2}\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\-\frac{1}{2}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\-\frac{13}{2}\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\-\frac{1}{2}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\-\frac{13}{2}\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-\left(-3\left(-\frac{1}{2}\right)\right)}&-\frac{-3}{2-\left(-3\left(-\frac{1}{2}\right)\right)}\\-\frac{-\frac{1}{2}}{2-\left(-3\left(-\frac{1}{2}\right)\right)}&\frac{2}{2-\left(-3\left(-\frac{1}{2}\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\-\frac{13}{2}\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2&6\\1&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\-\frac{13}{2}\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\times 20+6\left(-\frac{13}{2}\right)\\20+4\left(-\frac{13}{2}\right)\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-6\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=1,y=-6$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

שקול את המשוואה הראשונה. החסר ‎3y משני האגפים.

$$2x-3y=20$$

שקול את המשוואה השניה. חלק כל איבר של ‎x-13 ב- ‎2 כדי לקבל ‎\frac{1}{2}x-\frac{13}{2}.

$$y=\frac{1}{2}x-\frac{13}{2}$$

החסר ‎\frac{1}{2}x משני האגפים.

$$y-\frac{1}{2}x=-\frac{13}{2}$$

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$2x-3y=20,-\frac{1}{2}x+y=-\frac{13}{2}$$

כדי להפוך את ‎2x ו- ‎-\frac{x}{2} לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎-\frac{1}{2} ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎2.

$$-\frac{1}{2}\times 2x-\frac{1}{2}\left(-3\right)y=-\frac{1}{2}\times 20,2\left(-\frac{1}{2}\right)x+2y=2\left(-\frac{13}{2}\right)$$

פשט.

$$-x+\frac{3}{2}y=-10,-x+2y=-13$$

החסר את ‎-x+2y=-13 מ- ‎-x+\frac{3}{2}y=-10 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$-x+x+\frac{3}{2}y-2y=-10+13$$

הוסף את ‎-x ל- ‎x. האיברים ‎-x ו- ‎x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$\frac{3}{2}y-2y=-10+13$$

הוסף את ‎\frac{3y}{2} ל- ‎-2y.

$$-\frac{1}{2}y=-10+13$$

הוסף את ‎-10 ל- ‎13.

$$-\frac{1}{2}y=3$$

הכפל את שני האגפים ב- ‎-2.

$$y=-6$$

השתמש ב- ‎-6 במקום y ב- ‎-\frac{1}{2}x+y=-\frac{13}{2}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$-\frac{1}{2}x-6=-\frac{13}{2}$$

הוסף ‎6 לשני אגפי המשוואה.

$$-\frac{1}{2}x=-\frac{1}{2}$$

הכפל את שני האגפים ב- ‎-2.

$$x=1$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=1,y=-6$$