פתור את 2w^2+w-1275=0

$$2 w ^ { 2 } + w - 1275 = 0$$

פתור עבור w

$$w = -\frac{51}{2} = -25\frac{1}{2} = -25.5$$

$$w=25$$

שלבים הכוללים שימוש בפירוק לגורמים על-ידי קיבוץ

כדי לפתור את המשוואה, פרק את האגף השמאלי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את האגף השמאלי כ- 2w^{2}+aw+bw-1275. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=1 ab=2\left(-1275\right)=-2550$$

מאחר ש- ab הוא שלילי, ל- a ול- b יש סימנים הפוכים. מאחר ש- a+b הוא חיובי, למספר החיובי יש ערך מוחלט גדול יותר מהשלילי. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה -2550.

$$-1,2550 -2,1275 -3,850 -5,510 -6,425 -10,255 -15,170 -17,150 -25,102 -30,85 -34,75 -50,51$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$-1+2550=2549 -2+1275=1273 -3+850=847 -5+510=505 -6+425=419 -10+255=245 -15+170=155 -17+150=133 -25+102=77 -30+85=55 -34+75=41 -50+51=1$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום 1.

$$a=-50 b=51$$

שכתב את ‎2w^{2}+w-1275 כ- ‎\left(2w^{2}-50w\right)+\left(51w-1275\right).

$$\left(2w^{2}-50w\right)+\left(51w-1275\right)$$

הוצא את הגורם המשותף 2w בקבוצה הראשונה ואת 51 בקבוצה השניה.

$$2w\left(w-25\right)+51\left(w-25\right)$$

הוצא את האיבר המשותף w-25 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(w-25\right)\left(2w+51\right)$$

כדי למצוא פתרונות משוואה, פתור את w-25=0 ו- 2w+51=0.

$$w=25 w=-\frac{51}{2}$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$2w^{2}+w-1275=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 2 במקום a, ב- 1 במקום b, וב- -1275 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$w=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 2\left(-1275\right)}}{2\times 2}$$

‎1 בריבוע.

$$w=\frac{-1±\sqrt{1-4\times 2\left(-1275\right)}}{2\times 2}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎2.

$$w=\frac{-1±\sqrt{1-8\left(-1275\right)}}{2\times 2}$$

הכפל את ‎-8 ב- ‎-1275.

$$w=\frac{-1±\sqrt{1+10200}}{2\times 2}$$

הוסף את ‎1 ל- ‎10200.

$$w=\frac{-1±\sqrt{10201}}{2\times 2}$$

הוצא את השורש הריבועי של 10201.

$$w=\frac{-1±101}{2\times 2}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎2.

$$w=\frac{-1±101}{4}$$

כעת פתור את המשוואה w=\frac{-1±101}{4} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎-1 ל- ‎101.

$$w=\frac{100}{4}$$

חלק את ‎100 ב- ‎4.

$$w=25$$

כעת פתור את המשוואה w=\frac{-1±101}{4} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎101 מ- ‎-1.

$$w=-\frac{102}{4}$$

צמצם את השבר ‎\frac{-102}{4} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 2.

$$w=-\frac{51}{2}$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$w=25 w=-\frac{51}{2}$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$2w^{2}+w-1275=0$$

הוסף ‎1275 לשני אגפי המשוואה.

$$2w^{2}+w-1275-\left(-1275\right)=-\left(-1275\right)$$

החסרת -1275 מעצמו נותנת 0.

$$2w^{2}+w=-\left(-1275\right)$$

החסר ‎-1275 מ- ‎0.

$$2w^{2}+w=1275$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$\frac{2w^{2}+w}{2}=\frac{1275}{2}$$

חילוק ב- ‎2 מבטל את ההכפלה ב- ‎2.

$$w^{2}+\frac{1}{2}w=\frac{1275}{2}$$

חלק את ‎\frac{1}{2}, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎\frac{1}{4}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של \frac{1}{4} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$w^{2}+\frac{1}{2}w+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{1275}{2}+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}$$

העלה את ‎\frac{1}{4} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$w^{2}+\frac{1}{2}w+\frac{1}{16}=\frac{1275}{2}+\frac{1}{16}$$

הוסף את ‎\frac{1275}{2} ל- ‎\frac{1}{16} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$w^{2}+\frac{1}{2}w+\frac{1}{16}=\frac{10201}{16}$$

פרק w^{2}+\frac{1}{2}w+\frac{1}{16} לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(w+\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{10201}{16}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(w+\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{10201}{16}}$$

פשט.

$$w+\frac{1}{4}=\frac{101}{4} w+\frac{1}{4}=-\frac{101}{4}$$

החסר ‎\frac{1}{4} משני אגפי המשוואה.

$$w=25 w=-\frac{51}{2}$$