פתור את 2r^2-r-1=0

$$2 r ^ { 2 } - r - 1 = 0$$

פתור עבור r

$$r=-\frac{1}{2}=-0.5$$

$$r=1$$

שלבים הכוללים שימוש בפירוק לגורמים על-ידי קיבוץ

כדי לפתור את המשוואה, פרק את האגף השמאלי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את האגף השמאלי כ- 2r^{2}+ar+br-1. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=-1 ab=2\left(-1\right)=-2$$

מאחר ש- ab הוא שלילי, ל- a ול- b יש סימנים הפוכים. מאחר ש- a+b הוא שלילי, למספר השלילי יש ערך מוחלט גדול יותר מהחיובי. הצמד היחיד מסוג זה הוא פתרון המערכת.

$$a=-2 b=1$$

שכתב את ‎2r^{2}-r-1 כ- ‎\left(2r^{2}-2r\right)+\left(r-1\right).

$$\left(2r^{2}-2r\right)+\left(r-1\right)$$

הוצא את הגורם המשותף 2r ב- 2r^{2}-2r.

$$2r\left(r-1\right)+r-1$$

הוצא את האיבר המשותף r-1 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(r-1\right)\left(2r+1\right)$$

כדי למצוא פתרונות משוואה, פתור את r-1=0 ו- 2r+1=0.

$$r=1 r=-\frac{1}{2}$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$2r^{2}-r-1=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 2 במקום a, ב- -1 במקום b, וב- -1 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$r=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 2\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎2.

$$r=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-8\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

הכפל את ‎-8 ב- ‎-1.

$$r=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+8}}{2\times 2}$$

הוסף את ‎1 ל- ‎8.

$$r=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{9}}{2\times 2}$$

הוצא את השורש הריבועי של 9.

$$r=\frac{-\left(-1\right)±3}{2\times 2}$$

ההופכי של ‎-1 הוא ‎1.

$$r=\frac{1±3}{2\times 2}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎2.

$$r=\frac{1±3}{4}$$

כעת פתור את המשוואה r=\frac{1±3}{4} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎1 ל- ‎3.

$$r=\frac{4}{4}$$

חלק את ‎4 ב- ‎4.

$$r=1$$

כעת פתור את המשוואה r=\frac{1±3}{4} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎3 מ- ‎1.

$$r=-\frac{2}{4}$$

צמצם את השבר ‎\frac{-2}{4} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 2.

$$r=-\frac{1}{2}$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$r=1 r=-\frac{1}{2}$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$2r^{2}-r-1=0$$

הוסף ‎1 לשני אגפי המשוואה.

$$2r^{2}-r-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

החסרת -1 מעצמו נותנת 0.

$$2r^{2}-r=-\left(-1\right)$$

החסר ‎-1 מ- ‎0.

$$2r^{2}-r=1$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$\frac{2r^{2}-r}{2}=\frac{1}{2}$$

חילוק ב- ‎2 מבטל את ההכפלה ב- ‎2.

$$r^{2}-\frac{1}{2}r=\frac{1}{2}$$

חלק את ‎-\frac{1}{2}, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎-\frac{1}{4}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של -\frac{1}{4} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$r^{2}-\frac{1}{2}r+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{1}{2}+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}$$

העלה את ‎-\frac{1}{4} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$r^{2}-\frac{1}{2}r+\frac{1}{16}=\frac{1}{2}+\frac{1}{16}$$

הוסף את ‎\frac{1}{2} ל- ‎\frac{1}{16} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$r^{2}-\frac{1}{2}r+\frac{1}{16}=\frac{9}{16}$$

פרק r^{2}-\frac{1}{2}r+\frac{1}{16} לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(r-\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{9}{16}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(r-\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{16}}$$

פשט.

$$r-\frac{1}{4}=\frac{3}{4} r-\frac{1}{4}=-\frac{3}{4}$$

הוסף ‎\frac{1}{4} לשני אגפי המשוואה.

$$r=1 r=-\frac{1}{2}$$