פתור את 2r^2+5r+2=0

$$2 r ^ { 2 } + 5 r + 2 = 0$$

פתור עבור r

$$r=-2$$

$$r=-\frac{1}{2}=-0.5$$

שלבים הכוללים שימוש בפירוק לגורמים על-ידי קיבוץ

כדי לפתור את המשוואה, פרק את האגף השמאלי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את האגף השמאלי כ- 2r^{2}+ar+br+2. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=5 ab=2\times 2=4$$

מאחר ש- ab הוא חיובי, ל- a ול- b יש אותו סימן. מאחר ש- a+b הוא חיובי, a ו- b שניהם חיוביים. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה 4.

$$1,4 2,2$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$1+4=5 2+2=4$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום 5.

$$a=1 b=4$$

שכתב את ‎2r^{2}+5r+2 כ- ‎\left(2r^{2}+r\right)+\left(4r+2\right).

$$\left(2r^{2}+r\right)+\left(4r+2\right)$$

הוצא את הגורם המשותף r בקבוצה הראשונה ואת 2 בקבוצה השניה.

$$r\left(2r+1\right)+2\left(2r+1\right)$$

הוצא את האיבר המשותף 2r+1 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(2r+1\right)\left(r+2\right)$$

כדי למצוא פתרונות משוואה, פתור את 2r+1=0 ו- r+2=0.

$$r=-\frac{1}{2} r=-2$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$2r^{2}+5r+2=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 2 במקום a, ב- 5 במקום b, וב- 2 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$r=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 2\times 2}}{2\times 2}$$

‎5 בריבוע.

$$r=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 2\times 2}}{2\times 2}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎2.

$$r=\frac{-5±\sqrt{25-8\times 2}}{2\times 2}$$

הכפל את ‎-8 ב- ‎2.

$$r=\frac{-5±\sqrt{25-16}}{2\times 2}$$

הוסף את ‎25 ל- ‎-16.

$$r=\frac{-5±\sqrt{9}}{2\times 2}$$

הוצא את השורש הריבועי של 9.

$$r=\frac{-5±3}{2\times 2}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎2.

$$r=\frac{-5±3}{4}$$

כעת פתור את המשוואה r=\frac{-5±3}{4} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎-5 ל- ‎3.

$$r=-\frac{2}{4}$$

צמצם את השבר ‎\frac{-2}{4} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 2.

$$r=-\frac{1}{2}$$

כעת פתור את המשוואה r=\frac{-5±3}{4} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎3 מ- ‎-5.

$$r=-\frac{8}{4}$$

חלק את ‎-8 ב- ‎4.

$$r=-2$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$r=-\frac{1}{2} r=-2$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$2r^{2}+5r+2=0$$

החסר ‎2 משני אגפי המשוואה.

$$2r^{2}+5r+2-2=-2$$

החסרת 2 מעצמו נותנת 0.

$$2r^{2}+5r=-2$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$\frac{2r^{2}+5r}{2}=-\frac{2}{2}$$

חילוק ב- ‎2 מבטל את ההכפלה ב- ‎2.

$$r^{2}+\frac{5}{2}r=-\frac{2}{2}$$

חלק את ‎-2 ב- ‎2.

$$r^{2}+\frac{5}{2}r=-1$$

חלק את ‎\frac{5}{2}, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎\frac{5}{4}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של \frac{5}{4} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$r^{2}+\frac{5}{2}r+\left(\frac{5}{4}\right)^{2}=-1+\left(\frac{5}{4}\right)^{2}$$

העלה את ‎\frac{5}{4} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$r^{2}+\frac{5}{2}r+\frac{25}{16}=-1+\frac{25}{16}$$

הוסף את ‎-1 ל- ‎\frac{25}{16}.

$$r^{2}+\frac{5}{2}r+\frac{25}{16}=\frac{9}{16}$$

פרק r^{2}+\frac{5}{2}r+\frac{25}{16} לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(r+\frac{5}{4}\right)^{2}=\frac{9}{16}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(r+\frac{5}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{16}}$$

פשט.

$$r+\frac{5}{4}=\frac{3}{4} r+\frac{5}{4}=-\frac{3}{4}$$

החסר ‎\frac{5}{4} משני אגפי המשוואה.

$$r=-\frac{1}{2} r=-2$$