פתור את 2r^2+21r+54=0

$$2 r ^ { 2 } + 21 r + 54 = 0$$

פתור עבור r

$$r = -\frac{9}{2} = -4\frac{1}{2} = -4.5$$

$$r=-6$$

שלבים הכוללים שימוש בפירוק לגורמים על-ידי קיבוץ

כדי לפתור את המשוואה, פרק את האגף השמאלי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את האגף השמאלי כ- 2r^{2}+ar+br+54. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=21 ab=2\times 54=108$$

מאחר ש- ab הוא חיובי, ל- a ול- b יש אותו סימן. מאחר ש- a+b הוא חיובי, a ו- b שניהם חיוביים. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה 108.

$$1,108 2,54 3,36 4,27 6,18 9,12$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$1+108=109 2+54=56 3+36=39 4+27=31 6+18=24 9+12=21$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום 21.

$$a=9 b=12$$

שכתב את ‎2r^{2}+21r+54 כ- ‎\left(2r^{2}+9r\right)+\left(12r+54\right).

$$\left(2r^{2}+9r\right)+\left(12r+54\right)$$

הוצא את הגורם המשותף r בקבוצה הראשונה ואת 6 בקבוצה השניה.

$$r\left(2r+9\right)+6\left(2r+9\right)$$

הוצא את האיבר המשותף 2r+9 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(2r+9\right)\left(r+6\right)$$

כדי למצוא פתרונות משוואה, פתור את 2r+9=0 ו- r+6=0.

$$r=-\frac{9}{2} r=-6$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$2r^{2}+21r+54=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 2 במקום a, ב- 21 במקום b, וב- 54 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$r=\frac{-21±\sqrt{21^{2}-4\times 2\times 54}}{2\times 2}$$

‎21 בריבוע.

$$r=\frac{-21±\sqrt{441-4\times 2\times 54}}{2\times 2}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎2.

$$r=\frac{-21±\sqrt{441-8\times 54}}{2\times 2}$$

הכפל את ‎-8 ב- ‎54.

$$r=\frac{-21±\sqrt{441-432}}{2\times 2}$$

הוסף את ‎441 ל- ‎-432.

$$r=\frac{-21±\sqrt{9}}{2\times 2}$$

הוצא את השורש הריבועי של 9.

$$r=\frac{-21±3}{2\times 2}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎2.

$$r=\frac{-21±3}{4}$$

כעת פתור את המשוואה r=\frac{-21±3}{4} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎-21 ל- ‎3.

$$r=-\frac{18}{4}$$

צמצם את השבר ‎\frac{-18}{4} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 2.

$$r=-\frac{9}{2}$$

כעת פתור את המשוואה r=\frac{-21±3}{4} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎3 מ- ‎-21.

$$r=-\frac{24}{4}$$

חלק את ‎-24 ב- ‎4.

$$r=-6$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$r=-\frac{9}{2} r=-6$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$2r^{2}+21r+54=0$$

החסר ‎54 משני אגפי המשוואה.

$$2r^{2}+21r+54-54=-54$$

החסרת 54 מעצמו נותנת 0.

$$2r^{2}+21r=-54$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$\frac{2r^{2}+21r}{2}=-\frac{54}{2}$$

חילוק ב- ‎2 מבטל את ההכפלה ב- ‎2.

$$r^{2}+\frac{21}{2}r=-\frac{54}{2}$$

חלק את ‎-54 ב- ‎2.

$$r^{2}+\frac{21}{2}r=-27$$

חלק את ‎\frac{21}{2}, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎\frac{21}{4}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של \frac{21}{4} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$r^{2}+\frac{21}{2}r+\left(\frac{21}{4}\right)^{2}=-27+\left(\frac{21}{4}\right)^{2}$$

העלה את ‎\frac{21}{4} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$r^{2}+\frac{21}{2}r+\frac{441}{16}=-27+\frac{441}{16}$$

הוסף את ‎-27 ל- ‎\frac{441}{16}.

$$r^{2}+\frac{21}{2}r+\frac{441}{16}=\frac{9}{16}$$

פרק r^{2}+\frac{21}{2}r+\frac{441}{16} לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(r+\frac{21}{4}\right)^{2}=\frac{9}{16}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(r+\frac{21}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{16}}$$

פשט.

$$r+\frac{21}{4}=\frac{3}{4} r+\frac{21}{4}=-\frac{3}{4}$$

החסר ‎\frac{21}{4} משני אגפי המשוואה.

$$r=-\frac{9}{2} r=-6$$