פתור את 2q^2-7q+5

$$2 q ^ { 2 } - 7 q + 5$$

פרק לגורמים

$$\left(q-1\right)\left(2q-5\right)$$

שלבי פתרון

פרק את הביטוי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את הביטוי כ- 2q^{2}+aq+bq+5. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=-7 ab=2\times 5=10$$

מאחר ש- ab הוא חיובי, ל- a ול- b יש אותו סימן. מאחר ש- a+b הוא שלילי, a ו- b שניהם שליליים. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה 10.

$$-1,-10 -2,-5$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$-1-10=-11 -2-5=-7$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום -7.

$$a=-5 b=-2$$

שכתב את ‎2q^{2}-7q+5 כ- ‎\left(2q^{2}-5q\right)+\left(-2q+5\right).

$$\left(2q^{2}-5q\right)+\left(-2q+5\right)$$

הוצא את הגורם המשותף q בקבוצה הראשונה ואת -1 בקבוצה השניה.

$$q\left(2q-5\right)-\left(2q-5\right)$$

הוצא את האיבר המשותף 2q-5 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(2q-5\right)\left(q-1\right)$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפרק פולינום ריבועי לגורמים באמצעות הטרנספורמציה ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎, כאשר x_{1} ו- x_{2} הם הפתרונות של המשוואה הריבועית ax^{2}+bx+c=0.

$$2q^{2}-7q+5=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$q=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 2\times 5}}{2\times 2}$$

‎-7 בריבוע.

$$q=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 2\times 5}}{2\times 2}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎2.

$$q=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-8\times 5}}{2\times 2}$$

הכפל את ‎-8 ב- ‎5.

$$q=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-40}}{2\times 2}$$

הוסף את ‎49 ל- ‎-40.

$$q=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{9}}{2\times 2}$$

הוצא את השורש הריבועי של 9.

$$q=\frac{-\left(-7\right)±3}{2\times 2}$$

ההופכי של ‎-7 הוא ‎7.

$$q=\frac{7±3}{2\times 2}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎2.

$$q=\frac{7±3}{4}$$

כעת פתור את המשוואה q=\frac{7±3}{4} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎7 ל- ‎3.

$$q=\frac{10}{4}$$

צמצם את השבר ‎\frac{10}{4} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 2.

$$q=\frac{5}{2}$$

כעת פתור את המשוואה q=\frac{7±3}{4} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎3 מ- ‎7.

$$q=\frac{4}{4}$$

חלק את ‎4 ב- ‎4.

$$q=1$$

פרק את הביטוי המקורי לגורמים באמצעות ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎. השתמש ב- ‎\frac{5}{2} במקום x_{1} וב- ‎1 במקום x_{2}.

$$2q^{2}-7q+5=2\left(q-\frac{5}{2}\right)\left(q-1\right)$$

החסר את q מ- \frac{5}{2} על-ידי מציאת מכנה משותף והחסרת המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$2q^{2}-7q+5=2\times \frac{2q-5}{2}\left(q-1\right)$$

בטל את הגורם המשותף הגדול ביותר ‎2 ב- ‎2 ו- ‎2.

$$2q^{2}-7q+5=\left(2q-5\right)\left(q-1\right)$$

הערך

$$\left(q-1\right)\left(2q-5\right)$$