פתור את 2n^2-7n-345=0

$$2 n ^ { 2 } - 7 n - 345 = 0$$

פתור עבור n

$$n = -\frac{23}{2} = -11\frac{1}{2} = -11.5$$

$$n=15$$

שלבים הכוללים שימוש בפירוק לגורמים על-ידי קיבוץ

כדי לפתור את המשוואה, פרק את האגף השמאלי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את האגף השמאלי כ- 2n^{2}+an+bn-345. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=-7 ab=2\left(-345\right)=-690$$

מאחר ש- ab הוא שלילי, ל- a ול- b יש סימנים הפוכים. מאחר ש- a+b הוא שלילי, למספר השלילי יש ערך מוחלט גדול יותר מהחיובי. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה -690.

$$1,-690 2,-345 3,-230 5,-138 6,-115 10,-69 15,-46 23,-30$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$1-690=-689 2-345=-343 3-230=-227 5-138=-133 6-115=-109 10-69=-59 15-46=-31 23-30=-7$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום -7.

$$a=-30 b=23$$

שכתב את ‎2n^{2}-7n-345 כ- ‎\left(2n^{2}-30n\right)+\left(23n-345\right).

$$\left(2n^{2}-30n\right)+\left(23n-345\right)$$

הוצא את הגורם המשותף 2n בקבוצה הראשונה ואת 23 בקבוצה השניה.

$$2n\left(n-15\right)+23\left(n-15\right)$$

הוצא את האיבר המשותף n-15 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(n-15\right)\left(2n+23\right)$$

כדי למצוא פתרונות משוואה, פתור את n-15=0 ו- 2n+23=0.

$$n=15 n=-\frac{23}{2}$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$2n^{2}-7n-345=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 2 במקום a, ב- -7 במקום b, וב- -345 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 2\left(-345\right)}}{2\times 2}$$

‎-7 בריבוע.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 2\left(-345\right)}}{2\times 2}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎2.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-8\left(-345\right)}}{2\times 2}$$

הכפל את ‎-8 ב- ‎-345.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49+2760}}{2\times 2}$$

הוסף את ‎49 ל- ‎2760.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{2809}}{2\times 2}$$

הוצא את השורש הריבועי של 2809.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±53}{2\times 2}$$

ההופכי של ‎-7 הוא ‎7.

$$n=\frac{7±53}{2\times 2}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎2.

$$n=\frac{7±53}{4}$$

כעת פתור את המשוואה n=\frac{7±53}{4} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎7 ל- ‎53.

$$n=\frac{60}{4}$$

חלק את ‎60 ב- ‎4.

$$n=15$$

כעת פתור את המשוואה n=\frac{7±53}{4} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎53 מ- ‎7.

$$n=-\frac{46}{4}$$

צמצם את השבר ‎\frac{-46}{4} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 2.

$$n=-\frac{23}{2}$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$n=15 n=-\frac{23}{2}$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$2n^{2}-7n-345=0$$

הוסף ‎345 לשני אגפי המשוואה.

$$2n^{2}-7n-345-\left(-345\right)=-\left(-345\right)$$

החסרת -345 מעצמו נותנת 0.

$$2n^{2}-7n=-\left(-345\right)$$

החסר ‎-345 מ- ‎0.

$$2n^{2}-7n=345$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$\frac{2n^{2}-7n}{2}=\frac{345}{2}$$

חילוק ב- ‎2 מבטל את ההכפלה ב- ‎2.

$$n^{2}-\frac{7}{2}n=\frac{345}{2}$$

חלק את ‎-\frac{7}{2}, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎-\frac{7}{4}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של -\frac{7}{4} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$n^{2}-\frac{7}{2}n+\left(-\frac{7}{4}\right)^{2}=\frac{345}{2}+\left(-\frac{7}{4}\right)^{2}$$

העלה את ‎-\frac{7}{4} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$n^{2}-\frac{7}{2}n+\frac{49}{16}=\frac{345}{2}+\frac{49}{16}$$

הוסף את ‎\frac{345}{2} ל- ‎\frac{49}{16} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$n^{2}-\frac{7}{2}n+\frac{49}{16}=\frac{2809}{16}$$

פרק n^{2}-\frac{7}{2}n+\frac{49}{16} לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n-\frac{7}{4}\right)^{2}=\frac{2809}{16}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(n-\frac{7}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2809}{16}}$$

פשט.

$$n-\frac{7}{4}=\frac{53}{4} n-\frac{7}{4}=-\frac{53}{4}$$

הוסף ‎\frac{7}{4} לשני אגפי המשוואה.

$$n=15 n=-\frac{23}{2}$$