פתור את 2n^2+15n+25

$$2 n ^ { 2 } + 15 n + 25$$

פרק לגורמים

$$\left(n+5\right)\left(2n+5\right)$$

שלבי פתרון

פרק את הביטוי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את הביטוי כ- 2n^{2}+an+bn+25. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=15 ab=2\times 25=50$$

מאחר ש- ab הוא חיובי, ל- a ול- b יש אותו סימן. מאחר ש- a+b הוא חיובי, a ו- b שניהם חיוביים. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה 50.

$$1,50 2,25 5,10$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$1+50=51 2+25=27 5+10=15$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום 15.

$$a=5 b=10$$

שכתב את ‎2n^{2}+15n+25 כ- ‎\left(2n^{2}+5n\right)+\left(10n+25\right).

$$\left(2n^{2}+5n\right)+\left(10n+25\right)$$

הוצא את הגורם המשותף n בקבוצה הראשונה ואת 5 בקבוצה השניה.

$$n\left(2n+5\right)+5\left(2n+5\right)$$

הוצא את האיבר המשותף 2n+5 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(2n+5\right)\left(n+5\right)$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפרק פולינום ריבועי לגורמים באמצעות הטרנספורמציה ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎, כאשר x_{1} ו- x_{2} הם הפתרונות של המשוואה הריבועית ax^{2}+bx+c=0.

$$2n^{2}+15n+25=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$n=\frac{-15±\sqrt{15^{2}-4\times 2\times 25}}{2\times 2}$$

‎15 בריבוע.

$$n=\frac{-15±\sqrt{225-4\times 2\times 25}}{2\times 2}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎2.

$$n=\frac{-15±\sqrt{225-8\times 25}}{2\times 2}$$

הכפל את ‎-8 ב- ‎25.

$$n=\frac{-15±\sqrt{225-200}}{2\times 2}$$

הוסף את ‎225 ל- ‎-200.

$$n=\frac{-15±\sqrt{25}}{2\times 2}$$

הוצא את השורש הריבועי של 25.

$$n=\frac{-15±5}{2\times 2}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎2.

$$n=\frac{-15±5}{4}$$

כעת פתור את המשוואה n=\frac{-15±5}{4} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎-15 ל- ‎5.

$$n=-\frac{10}{4}$$

צמצם את השבר ‎\frac{-10}{4} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 2.

$$n=-\frac{5}{2}$$

כעת פתור את המשוואה n=\frac{-15±5}{4} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎5 מ- ‎-15.

$$n=-\frac{20}{4}$$

חלק את ‎-20 ב- ‎4.

$$n=-5$$

פרק את הביטוי המקורי לגורמים באמצעות ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎. השתמש ב- ‎-\frac{5}{2} במקום x_{1} וב- ‎-5 במקום x_{2}.

$$2n^{2}+15n+25=2\left(n-\left(-\frac{5}{2}\right)\right)\left(n-\left(-5\right)\right)$$

פשט את כל הביטויים של הצורה ‎p-\left(-q\right)‎ ל- p+q.

$$2n^{2}+15n+25=2\left(n+\frac{5}{2}\right)\left(n+5\right)$$

הוסף את ‎\frac{5}{2} ל- ‎n על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$2n^{2}+15n+25=2\times \frac{2n+5}{2}\left(n+5\right)$$

בטל את הגורם המשותף הגדול ביותר ‎2 ב- ‎2 ו- ‎2.

$$2n^{2}+15n+25=\left(2n+5\right)\left(n+5\right)$$

הערך

$$\left(n+5\right)\left(2n+5\right)$$