פתור את 2k^2-14k-60

$$2 k ^ { 2 } - 14 k - 60$$

פרק לגורמים

$$2\left(k-10\right)\left(k+3\right)$$

שלבי פתרון

הוצא את הגורם המשותף 2.

$$2\left(k^{2}-7k-30\right)$$

שקול את k^{2}-7k-30. פרק את הביטוי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את הביטוי כ- k^{2}+ak+bk-30. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=-7 ab=1\left(-30\right)=-30$$

מאחר ש- ab הוא שלילי, ל- a ול- b יש סימנים הפוכים. מאחר ש- a+b הוא שלילי, למספר השלילי יש ערך מוחלט גדול יותר מהחיובי. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה -30.

$$1,-30 2,-15 3,-10 5,-6$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$1-30=-29 2-15=-13 3-10=-7 5-6=-1$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום -7.

$$a=-10 b=3$$

שכתב את ‎k^{2}-7k-30 כ- ‎\left(k^{2}-10k\right)+\left(3k-30\right).

$$\left(k^{2}-10k\right)+\left(3k-30\right)$$

הוצא את הגורם המשותף k בקבוצה הראשונה ואת 3 בקבוצה השניה.

$$k\left(k-10\right)+3\left(k-10\right)$$

הוצא את האיבר המשותף k-10 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(k-10\right)\left(k+3\right)$$

שכתב את הביטוי המפורק לגורמים המלא.

$$2\left(k-10\right)\left(k+3\right)$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפרק פולינום ריבועי לגורמים באמצעות הטרנספורמציה ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎, כאשר x_{1} ו- x_{2} הם הפתרונות של המשוואה הריבועית ax^{2}+bx+c=0.

$$2k^{2}-14k-60=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$k=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{\left(-14\right)^{2}-4\times 2\left(-60\right)}}{2\times 2}$$

‎-14 בריבוע.

$$k=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-4\times 2\left(-60\right)}}{2\times 2}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎2.

$$k=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-8\left(-60\right)}}{2\times 2}$$

הכפל את ‎-8 ב- ‎-60.

$$k=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196+480}}{2\times 2}$$

הוסף את ‎196 ל- ‎480.

$$k=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{676}}{2\times 2}$$

הוצא את השורש הריבועי של 676.

$$k=\frac{-\left(-14\right)±26}{2\times 2}$$

ההופכי של ‎-14 הוא ‎14.

$$k=\frac{14±26}{2\times 2}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎2.

$$k=\frac{14±26}{4}$$

כעת פתור את המשוואה k=\frac{14±26}{4} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎14 ל- ‎26.

$$k=\frac{40}{4}$$

חלק את ‎40 ב- ‎4.

$$k=10$$

כעת פתור את המשוואה k=\frac{14±26}{4} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎26 מ- ‎14.

$$k=-\frac{12}{4}$$

חלק את ‎-12 ב- ‎4.

$$k=-3$$

פרק את הביטוי המקורי לגורמים באמצעות ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎. השתמש ב- ‎10 במקום x_{1} וב- ‎-3 במקום x_{2}.

$$2k^{2}-14k-60=2\left(k-10\right)\left(k-\left(-3\right)\right)$$

פשט את כל הביטויים של הצורה ‎p-\left(-q\right)‎ ל- p+q.

$$2k^{2}-14k-60=2\left(k-10\right)\left(k+3\right)$$

הערך

$$2\left(k-10\right)\left(k+3\right)$$