פתור את 2k^2+9k=-7

$$2 k ^ { 2 } + 9 k = - 7$$

פתור עבור k

$$k = -\frac{7}{2} = -3\frac{1}{2} = -3.5$$

$$k=-1$$

שלבים הכוללים שימוש בפירוק לגורמים על-ידי קיבוץ

הוסף ‎7 משני הצדדים.

$$2k^{2}+9k+7=0$$

כדי לפתור את המשוואה, פרק את האגף השמאלי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את האגף השמאלי כ- 2k^{2}+ak+bk+7. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=9 ab=2\times 7=14$$

מאחר ש- ab הוא חיובי, ל- a ול- b יש אותו סימן. מאחר ש- a+b הוא חיובי, a ו- b שניהם חיוביים. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה 14.

$$1,14 2,7$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$1+14=15 2+7=9$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום 9.

$$a=2 b=7$$

שכתב את ‎2k^{2}+9k+7 כ- ‎\left(2k^{2}+2k\right)+\left(7k+7\right).

$$\left(2k^{2}+2k\right)+\left(7k+7\right)$$

הוצא את הגורם המשותף 2k בקבוצה הראשונה ואת 7 בקבוצה השניה.

$$2k\left(k+1\right)+7\left(k+1\right)$$

הוצא את האיבר המשותף k+1 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(k+1\right)\left(2k+7\right)$$

כדי למצוא פתרונות משוואה, פתור את k+1=0 ו- 2k+7=0.

$$k=-1 k=-\frac{7}{2}$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$2k^{2}+9k=-7$$

הוסף ‎7 לשני אגפי המשוואה.

$$2k^{2}+9k-\left(-7\right)=-7-\left(-7\right)$$

החסרת -7 מעצמו נותנת 0.

$$2k^{2}+9k-\left(-7\right)=0$$

החסר ‎-7 מ- ‎0.

$$2k^{2}+9k+7=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 2 במקום a, ב- 9 במקום b, וב- 7 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$k=\frac{-9±\sqrt{9^{2}-4\times 2\times 7}}{2\times 2}$$

‎9 בריבוע.

$$k=\frac{-9±\sqrt{81-4\times 2\times 7}}{2\times 2}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎2.

$$k=\frac{-9±\sqrt{81-8\times 7}}{2\times 2}$$

הכפל את ‎-8 ב- ‎7.

$$k=\frac{-9±\sqrt{81-56}}{2\times 2}$$

הוסף את ‎81 ל- ‎-56.

$$k=\frac{-9±\sqrt{25}}{2\times 2}$$

הוצא את השורש הריבועי של 25.

$$k=\frac{-9±5}{2\times 2}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎2.

$$k=\frac{-9±5}{4}$$

כעת פתור את המשוואה k=\frac{-9±5}{4} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎-9 ל- ‎5.

$$k=-\frac{4}{4}$$

חלק את ‎-4 ב- ‎4.

$$k=-1$$

כעת פתור את המשוואה k=\frac{-9±5}{4} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎5 מ- ‎-9.

$$k=-\frac{14}{4}$$

צמצם את השבר ‎\frac{-14}{4} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 2.

$$k=-\frac{7}{2}$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$k=-1 k=-\frac{7}{2}$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$2k^{2}+9k=-7$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$\frac{2k^{2}+9k}{2}=-\frac{7}{2}$$

חילוק ב- ‎2 מבטל את ההכפלה ב- ‎2.

$$k^{2}+\frac{9}{2}k=-\frac{7}{2}$$

חלק את ‎\frac{9}{2}, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎\frac{9}{4}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של \frac{9}{4} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$k^{2}+\frac{9}{2}k+\left(\frac{9}{4}\right)^{2}=-\frac{7}{2}+\left(\frac{9}{4}\right)^{2}$$

העלה את ‎\frac{9}{4} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$k^{2}+\frac{9}{2}k+\frac{81}{16}=-\frac{7}{2}+\frac{81}{16}$$

הוסף את ‎-\frac{7}{2} ל- ‎\frac{81}{16} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$k^{2}+\frac{9}{2}k+\frac{81}{16}=\frac{25}{16}$$

פרק k^{2}+\frac{9}{2}k+\frac{81}{16} לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(k+\frac{9}{4}\right)^{2}=\frac{25}{16}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(k+\frac{9}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{16}}$$

פשט.

$$k+\frac{9}{4}=\frac{5}{4} k+\frac{9}{4}=-\frac{5}{4}$$

החסר ‎\frac{9}{4} משני אגפי המשוואה.

$$k=-1 k=-\frac{7}{2}$$