פתור את 2j^2+11j+12

$$2 j ^ { 2 } + 11 j + 12$$

פרק לגורמים

$$\left(j+4\right)\left(2j+3\right)$$

שלבי פתרון

פרק את הביטוי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את הביטוי כ- 2j^{2}+aj+bj+12. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=11 ab=2\times 12=24$$

מאחר ש- ab הוא חיובי, ל- a ול- b יש אותו סימן. מאחר ש- a+b הוא חיובי, a ו- b שניהם חיוביים. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה 24.

$$1,24 2,12 3,8 4,6$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$1+24=25 2+12=14 3+8=11 4+6=10$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום 11.

$$a=3 b=8$$

שכתב את ‎2j^{2}+11j+12 כ- ‎\left(2j^{2}+3j\right)+\left(8j+12\right).

$$\left(2j^{2}+3j\right)+\left(8j+12\right)$$

הוצא את הגורם המשותף j בקבוצה הראשונה ואת 4 בקבוצה השניה.

$$j\left(2j+3\right)+4\left(2j+3\right)$$

הוצא את האיבר המשותף 2j+3 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(2j+3\right)\left(j+4\right)$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפרק פולינום ריבועי לגורמים באמצעות הטרנספורמציה ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎, כאשר x_{1} ו- x_{2} הם הפתרונות של המשוואה הריבועית ax^{2}+bx+c=0.

$$2j^{2}+11j+12=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$j=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\times 2\times 12}}{2\times 2}$$

‎11 בריבוע.

$$j=\frac{-11±\sqrt{121-4\times 2\times 12}}{2\times 2}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎2.

$$j=\frac{-11±\sqrt{121-8\times 12}}{2\times 2}$$

הכפל את ‎-8 ב- ‎12.

$$j=\frac{-11±\sqrt{121-96}}{2\times 2}$$

הוסף את ‎121 ל- ‎-96.

$$j=\frac{-11±\sqrt{25}}{2\times 2}$$

הוצא את השורש הריבועי של 25.

$$j=\frac{-11±5}{2\times 2}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎2.

$$j=\frac{-11±5}{4}$$

כעת פתור את המשוואה j=\frac{-11±5}{4} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎-11 ל- ‎5.

$$j=-\frac{6}{4}$$

צמצם את השבר ‎\frac{-6}{4} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 2.

$$j=-\frac{3}{2}$$

כעת פתור את המשוואה j=\frac{-11±5}{4} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎5 מ- ‎-11.

$$j=-\frac{16}{4}$$

חלק את ‎-16 ב- ‎4.

$$j=-4$$

פרק את הביטוי המקורי לגורמים באמצעות ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎. השתמש ב- ‎-\frac{3}{2} במקום x_{1} וב- ‎-4 במקום x_{2}.

$$2j^{2}+11j+12=2\left(j-\left(-\frac{3}{2}\right)\right)\left(j-\left(-4\right)\right)$$

פשט את כל הביטויים של הצורה ‎p-\left(-q\right)‎ ל- p+q.

$$2j^{2}+11j+12=2\left(j+\frac{3}{2}\right)\left(j+4\right)$$

הוסף את ‎\frac{3}{2} ל- ‎j על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$2j^{2}+11j+12=2\times \frac{2j+3}{2}\left(j+4\right)$$

בטל את הגורם המשותף הגדול ביותר ‎2 ב- ‎2 ו- ‎2.

$$2j^{2}+11j+12=\left(2j+3\right)\left(j+4\right)$$

הערך

$$\left(j+4\right)\left(2j+3\right)$$