פתור את 2d^2-9d-11

$$2 d ^ { 2 } - 9 d - 11$$

פרק לגורמים

$$\left(2d-11\right)\left(d+1\right)$$

שלבי פתרון

פרק את הביטוי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את הביטוי כ- 2d^{2}+ad+bd-11. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=-9 ab=2\left(-11\right)=-22$$

מאחר ש- ab הוא שלילי, ל- a ול- b יש סימנים הפוכים. מאחר ש- a+b הוא שלילי, למספר השלילי יש ערך מוחלט גדול יותר מהחיובי. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה -22.

$$1,-22 2,-11$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$1-22=-21 2-11=-9$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום -9.

$$a=-11 b=2$$

שכתב את ‎2d^{2}-9d-11 כ- ‎\left(2d^{2}-11d\right)+\left(2d-11\right).

$$\left(2d^{2}-11d\right)+\left(2d-11\right)$$

הוצא את הגורם המשותף d ב- 2d^{2}-11d.

$$d\left(2d-11\right)+2d-11$$

הוצא את האיבר המשותף 2d-11 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(2d-11\right)\left(d+1\right)$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפרק פולינום ריבועי לגורמים באמצעות הטרנספורמציה ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎, כאשר x_{1} ו- x_{2} הם הפתרונות של המשוואה הריבועית ax^{2}+bx+c=0.

$$2d^{2}-9d-11=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$d=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{\left(-9\right)^{2}-4\times 2\left(-11\right)}}{2\times 2}$$

‎-9 בריבוע.

$$d=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-4\times 2\left(-11\right)}}{2\times 2}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎2.

$$d=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-8\left(-11\right)}}{2\times 2}$$

הכפל את ‎-8 ב- ‎-11.

$$d=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81+88}}{2\times 2}$$

הוסף את ‎81 ל- ‎88.

$$d=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{169}}{2\times 2}$$

הוצא את השורש הריבועי של 169.

$$d=\frac{-\left(-9\right)±13}{2\times 2}$$

ההופכי של ‎-9 הוא ‎9.

$$d=\frac{9±13}{2\times 2}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎2.

$$d=\frac{9±13}{4}$$

כעת פתור את המשוואה d=\frac{9±13}{4} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎9 ל- ‎13.

$$d=\frac{22}{4}$$

צמצם את השבר ‎\frac{22}{4} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 2.

$$d=\frac{11}{2}$$

כעת פתור את המשוואה d=\frac{9±13}{4} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎13 מ- ‎9.

$$d=-\frac{4}{4}$$

חלק את ‎-4 ב- ‎4.

$$d=-1$$

פרק את הביטוי המקורי לגורמים באמצעות ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎. השתמש ב- ‎\frac{11}{2} במקום x_{1} וב- ‎-1 במקום x_{2}.

$$2d^{2}-9d-11=2\left(d-\frac{11}{2}\right)\left(d-\left(-1\right)\right)$$

פשט את כל הביטויים של הצורה ‎p-\left(-q\right)‎ ל- p+q.

$$2d^{2}-9d-11=2\left(d-\frac{11}{2}\right)\left(d+1\right)$$

החסר את d מ- \frac{11}{2} על-ידי מציאת מכנה משותף והחסרת המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$2d^{2}-9d-11=2\times \frac{2d-11}{2}\left(d+1\right)$$

בטל את הגורם המשותף הגדול ביותר ‎2 ב- ‎2 ו- ‎2.

$$2d^{2}-9d-11=\left(2d-11\right)\left(d+1\right)$$

הערך

$$\left(2d-11\right)\left(d+1\right)$$