פתור את 2d^2+11d+5=0

$$2 d ^ { 2 } + 11 d + 5 = 0$$

פתור עבור d

$$d=-5$$

$$d=-\frac{1}{2}=-0.5$$

שלבים הכוללים שימוש בפירוק לגורמים על-ידי קיבוץ

כדי לפתור את המשוואה, פרק את האגף השמאלי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את האגף השמאלי כ- 2d^{2}+ad+bd+5. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=11 ab=2\times 5=10$$

מאחר ש- ab הוא חיובי, ל- a ול- b יש אותו סימן. מאחר ש- a+b הוא חיובי, a ו- b שניהם חיוביים. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה 10.

$$1,10 2,5$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$1+10=11 2+5=7$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום 11.

$$a=1 b=10$$

שכתב את ‎2d^{2}+11d+5 כ- ‎\left(2d^{2}+d\right)+\left(10d+5\right).

$$\left(2d^{2}+d\right)+\left(10d+5\right)$$

הוצא את הגורם המשותף d בקבוצה הראשונה ואת 5 בקבוצה השניה.

$$d\left(2d+1\right)+5\left(2d+1\right)$$

הוצא את האיבר המשותף 2d+1 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(2d+1\right)\left(d+5\right)$$

כדי למצוא פתרונות משוואה, פתור את 2d+1=0 ו- d+5=0.

$$d=-\frac{1}{2} d=-5$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$2d^{2}+11d+5=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 2 במקום a, ב- 11 במקום b, וב- 5 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$d=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\times 2\times 5}}{2\times 2}$$

‎11 בריבוע.

$$d=\frac{-11±\sqrt{121-4\times 2\times 5}}{2\times 2}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎2.

$$d=\frac{-11±\sqrt{121-8\times 5}}{2\times 2}$$

הכפל את ‎-8 ב- ‎5.

$$d=\frac{-11±\sqrt{121-40}}{2\times 2}$$

הוסף את ‎121 ל- ‎-40.

$$d=\frac{-11±\sqrt{81}}{2\times 2}$$

הוצא את השורש הריבועי של 81.

$$d=\frac{-11±9}{2\times 2}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎2.

$$d=\frac{-11±9}{4}$$

כעת פתור את המשוואה d=\frac{-11±9}{4} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎-11 ל- ‎9.

$$d=-\frac{2}{4}$$

צמצם את השבר ‎\frac{-2}{4} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 2.

$$d=-\frac{1}{2}$$

כעת פתור את המשוואה d=\frac{-11±9}{4} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎9 מ- ‎-11.

$$d=-\frac{20}{4}$$

חלק את ‎-20 ב- ‎4.

$$d=-5$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$d=-\frac{1}{2} d=-5$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$2d^{2}+11d+5=0$$

החסר ‎5 משני אגפי המשוואה.

$$2d^{2}+11d+5-5=-5$$

החסרת 5 מעצמו נותנת 0.

$$2d^{2}+11d=-5$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$\frac{2d^{2}+11d}{2}=-\frac{5}{2}$$

חילוק ב- ‎2 מבטל את ההכפלה ב- ‎2.

$$d^{2}+\frac{11}{2}d=-\frac{5}{2}$$

חלק את ‎\frac{11}{2}, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎\frac{11}{4}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של \frac{11}{4} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$d^{2}+\frac{11}{2}d+\left(\frac{11}{4}\right)^{2}=-\frac{5}{2}+\left(\frac{11}{4}\right)^{2}$$

העלה את ‎\frac{11}{4} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$d^{2}+\frac{11}{2}d+\frac{121}{16}=-\frac{5}{2}+\frac{121}{16}$$

הוסף את ‎-\frac{5}{2} ל- ‎\frac{121}{16} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$d^{2}+\frac{11}{2}d+\frac{121}{16}=\frac{81}{16}$$

פרק d^{2}+\frac{11}{2}d+\frac{121}{16} לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(d+\frac{11}{4}\right)^{2}=\frac{81}{16}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(d+\frac{11}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{16}}$$

פשט.

$$d+\frac{11}{4}=\frac{9}{4} d+\frac{11}{4}=-\frac{9}{4}$$

החסר ‎\frac{11}{4} משני אגפי המשוואה.

$$d=-\frac{1}{2} d=-5$$