פתור את 2a^2+9a+10

$$2 a ^ { 2 } + 9 a + 10$$

פרק לגורמים

$$\left(a+2\right)\left(2a+5\right)$$

שלבי פתרון

פרק את הביטוי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את הביטוי כ- 2a^{2}+pa+qa+10. כדי למצוא את p ו- q, הגדר מערכת לפתרון.

$$p+q=9 pq=2\times 10=20$$

מאחר ש- pq הוא חיובי, ל- p ול- q יש אותו סימן. מאחר ש- p+q הוא חיובי, p ו- q שניהם חיוביים. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה 20.

$$1,20 2,10 4,5$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$1+20=21 2+10=12 4+5=9$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום 9.

$$p=4 q=5$$

שכתב את ‎2a^{2}+9a+10 כ- ‎\left(2a^{2}+4a\right)+\left(5a+10\right).

$$\left(2a^{2}+4a\right)+\left(5a+10\right)$$

הוצא את הגורם המשותף 2a בקבוצה הראשונה ואת 5 בקבוצה השניה.

$$2a\left(a+2\right)+5\left(a+2\right)$$

הוצא את האיבר המשותף a+2 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(a+2\right)\left(2a+5\right)$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפרק פולינום ריבועי לגורמים באמצעות הטרנספורמציה ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎, כאשר x_{1} ו- x_{2} הם הפתרונות של המשוואה הריבועית ax^{2}+bx+c=0.

$$2a^{2}+9a+10=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$a=\frac{-9±\sqrt{9^{2}-4\times 2\times 10}}{2\times 2}$$

‎9 בריבוע.

$$a=\frac{-9±\sqrt{81-4\times 2\times 10}}{2\times 2}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎2.

$$a=\frac{-9±\sqrt{81-8\times 10}}{2\times 2}$$

הכפל את ‎-8 ב- ‎10.

$$a=\frac{-9±\sqrt{81-80}}{2\times 2}$$

הוסף את ‎81 ל- ‎-80.

$$a=\frac{-9±\sqrt{1}}{2\times 2}$$

הוצא את השורש הריבועי של 1.

$$a=\frac{-9±1}{2\times 2}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎2.

$$a=\frac{-9±1}{4}$$

כעת פתור את המשוואה a=\frac{-9±1}{4} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎-9 ל- ‎1.

$$a=-\frac{8}{4}$$

חלק את ‎-8 ב- ‎4.

$$a=-2$$

כעת פתור את המשוואה a=\frac{-9±1}{4} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎1 מ- ‎-9.

$$a=-\frac{10}{4}$$

צמצם את השבר ‎\frac{-10}{4} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 2.

$$a=-\frac{5}{2}$$

פרק את הביטוי המקורי לגורמים באמצעות ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎. השתמש ב- ‎-2 במקום x_{1} וב- ‎-\frac{5}{2} במקום x_{2}.

$$2a^{2}+9a+10=2\left(a-\left(-2\right)\right)\left(a-\left(-\frac{5}{2}\right)\right)$$

פשט את כל הביטויים של הצורה ‎p-\left(-q\right)‎ ל- p+q.

$$2a^{2}+9a+10=2\left(a+2\right)\left(a+\frac{5}{2}\right)$$

הוסף את ‎\frac{5}{2} ל- ‎a על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$2a^{2}+9a+10=2\left(a+2\right)\times \frac{2a+5}{2}$$

בטל את הגורם המשותף הגדול ביותר ‎2 ב- ‎2 ו- ‎2.

$$2a^{2}+9a+10=\left(a+2\right)\left(2a+5\right)$$

הערך

$$\left(a+2\right)\left(2a+5\right)$$