פתור את 2y^2+5y-12

$$2 { y }^{ 2 } +5y-12$$

פרק לגורמים

$$\left(2y-3\right)\left(y+4\right)$$

שלבי פתרון

פרק את הביטוי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את הביטוי כ- 2y^{2}+ay+by-12. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=5 ab=2\left(-12\right)=-24$$

מאחר ש- ab הוא שלילי, ל- a ול- b יש סימנים הפוכים. מאחר ש- a+b הוא חיובי, למספר החיובי יש ערך מוחלט גדול יותר מהשלילי. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה -24.

$$-1,24 -2,12 -3,8 -4,6$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$-1+24=23 -2+12=10 -3+8=5 -4+6=2$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום 5.

$$a=-3 b=8$$

שכתב את ‎2y^{2}+5y-12 כ- ‎\left(2y^{2}-3y\right)+\left(8y-12\right).

$$\left(2y^{2}-3y\right)+\left(8y-12\right)$$

הוצא את הגורם המשותף y בקבוצה הראשונה ואת 4 בקבוצה השניה.

$$y\left(2y-3\right)+4\left(2y-3\right)$$

הוצא את האיבר המשותף 2y-3 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(2y-3\right)\left(y+4\right)$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפרק פולינום ריבועי לגורמים באמצעות הטרנספורמציה ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎, כאשר x_{1} ו- x_{2} הם הפתרונות של המשוואה הריבועית ax^{2}+bx+c=0.

$$2y^{2}+5y-12=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$y=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 2\left(-12\right)}}{2\times 2}$$

‎5 בריבוע.

$$y=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 2\left(-12\right)}}{2\times 2}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎2.

$$y=\frac{-5±\sqrt{25-8\left(-12\right)}}{2\times 2}$$

הכפל את ‎-8 ב- ‎-12.

$$y=\frac{-5±\sqrt{25+96}}{2\times 2}$$

הוסף את ‎25 ל- ‎96.

$$y=\frac{-5±\sqrt{121}}{2\times 2}$$

הוצא את השורש הריבועי של 121.

$$y=\frac{-5±11}{2\times 2}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎2.

$$y=\frac{-5±11}{4}$$

כעת פתור את המשוואה y=\frac{-5±11}{4} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎-5 ל- ‎11.

$$y=\frac{6}{4}$$

צמצם את השבר ‎\frac{6}{4} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 2.

$$y=\frac{3}{2}$$

כעת פתור את המשוואה y=\frac{-5±11}{4} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎11 מ- ‎-5.

$$y=-\frac{16}{4}$$

חלק את ‎-16 ב- ‎4.

$$y=-4$$

פרק את הביטוי המקורי לגורמים באמצעות ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎. השתמש ב- ‎\frac{3}{2} במקום x_{1} וב- ‎-4 במקום x_{2}.

$$2y^{2}+5y-12=2\left(y-\frac{3}{2}\right)\left(y-\left(-4\right)\right)$$

פשט את כל הביטויים של הצורה ‎p-\left(-q\right)‎ ל- p+q.

$$2y^{2}+5y-12=2\left(y-\frac{3}{2}\right)\left(y+4\right)$$

החסר את y מ- \frac{3}{2} על-ידי מציאת מכנה משותף והחסרת המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$2y^{2}+5y-12=2\times \frac{2y-3}{2}\left(y+4\right)$$

בטל את הגורם המשותף הגדול ביותר ‎2 ב- ‎2 ו- ‎2.

$$2y^{2}+5y-12=\left(2y-3\right)\left(y+4\right)$$

הערך

$$\left(2y-3\right)\left(y+4\right)$$