פתור את 2x^2-5x+17=0

$$2 { x }^{ 2 } -5x+17=0$$

פתור עבור x (complex solution)

$$x=\frac{5+\sqrt{111}i}{4}\approx 1.25+2.633913438i$$

$$x=\frac{-\sqrt{111}i+5}{4}\approx 1.25-2.633913438i$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$2x^{2}-5x+17=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 2 במקום a, ב- -5 במקום b, וב- 17 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 2\times 17}}{2\times 2}$$

‎-5 בריבוע.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 2\times 17}}{2\times 2}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎2.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-8\times 17}}{2\times 2}$$

הכפל את ‎-8 ב- ‎17.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-136}}{2\times 2}$$

הוסף את ‎25 ל- ‎-136.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{-111}}{2\times 2}$$

הוצא את השורש הריבועי של -111.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{111}i}{2\times 2}$$

ההופכי של ‎-5 הוא ‎5.

$$x=\frac{5±\sqrt{111}i}{2\times 2}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎2.

$$x=\frac{5±\sqrt{111}i}{4}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{5±\sqrt{111}i}{4} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎5 ל- ‎i\sqrt{111}.

$$x=\frac{5+\sqrt{111}i}{4}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{5±\sqrt{111}i}{4} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎i\sqrt{111} מ- ‎5.

$$x=\frac{-\sqrt{111}i+5}{4}$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$x=\frac{5+\sqrt{111}i}{4} x=\frac{-\sqrt{111}i+5}{4}$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-5x+17=0$$

החסר ‎17 משני אגפי המשוואה.

$$2x^{2}-5x+17-17=-17$$

החסרת 17 מעצמו נותנת 0.

$$2x^{2}-5x=-17$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$\frac{2x^{2}-5x}{2}=-\frac{17}{2}$$

חילוק ב- ‎2 מבטל את ההכפלה ב- ‎2.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x=-\frac{17}{2}$$

חלק את ‎-\frac{5}{2}, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎-\frac{5}{4}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של -\frac{5}{4} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x+\left(-\frac{5}{4}\right)^{2}=-\frac{17}{2}+\left(-\frac{5}{4}\right)^{2}$$

העלה את ‎-\frac{5}{4} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=-\frac{17}{2}+\frac{25}{16}$$

הוסף את ‎-\frac{17}{2} ל- ‎\frac{25}{16} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=-\frac{111}{16}$$

פרק x^{2}-\frac{5}{2}x+\frac{25}{16} לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{4}\right)^{2}=-\frac{111}{16}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{4}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{111}{16}}$$

פשט.

$$x-\frac{5}{4}=\frac{\sqrt{111}i}{4} x-\frac{5}{4}=-\frac{\sqrt{111}i}{4}$$

הוסף ‎\frac{5}{4} לשני אגפי המשוואה.

$$x=\frac{5+\sqrt{111}i}{4} x=\frac{-\sqrt{111}i+5}{4}$$