פתור את 2x^2-14x-54=0

$$2 { x }^{ 2 } -14x-54=0$$

פתור עבור x

$$x = \frac{\sqrt{157} + 7}{2} \approx 9.764982043$$

$$x=\frac{7-\sqrt{157}}{2}\approx -2.764982043$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$2x^{2}-14x-54=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 2 במקום a, ב- -14 במקום b, וב- -54 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{\left(-14\right)^{2}-4\times 2\left(-54\right)}}{2\times 2}$$

‎-14 בריבוע.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-4\times 2\left(-54\right)}}{2\times 2}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎2.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-8\left(-54\right)}}{2\times 2}$$

הכפל את ‎-8 ב- ‎-54.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196+432}}{2\times 2}$$

הוסף את ‎196 ל- ‎432.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{628}}{2\times 2}$$

הוצא את השורש הריבועי של 628.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±2\sqrt{157}}{2\times 2}$$

ההופכי של ‎-14 הוא ‎14.

$$x=\frac{14±2\sqrt{157}}{2\times 2}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎2.

$$x=\frac{14±2\sqrt{157}}{4}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{14±2\sqrt{157}}{4} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎14 ל- ‎2\sqrt{157}.

$$x=\frac{2\sqrt{157}+14}{4}$$

חלק את ‎14+2\sqrt{157} ב- ‎4.

$$x=\frac{\sqrt{157}+7}{2}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{14±2\sqrt{157}}{4} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎2\sqrt{157} מ- ‎14.

$$x=\frac{14-2\sqrt{157}}{4}$$

חלק את ‎14-2\sqrt{157} ב- ‎4.

$$x=\frac{7-\sqrt{157}}{2}$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$x=\frac{\sqrt{157}+7}{2} x=\frac{7-\sqrt{157}}{2}$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-14x-54=0$$

הוסף ‎54 לשני אגפי המשוואה.

$$2x^{2}-14x-54-\left(-54\right)=-\left(-54\right)$$

החסרת -54 מעצמו נותנת 0.

$$2x^{2}-14x=-\left(-54\right)$$

החסר ‎-54 מ- ‎0.

$$2x^{2}-14x=54$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$\frac{2x^{2}-14x}{2}=\frac{54}{2}$$

חילוק ב- ‎2 מבטל את ההכפלה ב- ‎2.

$$x^{2}+\left(-\frac{14}{2}\right)x=\frac{54}{2}$$

חלק את ‎-14 ב- ‎2.

$$x^{2}-7x=\frac{54}{2}$$

חלק את ‎54 ב- ‎2.

$$x^{2}-7x=27$$

חלק את ‎-7, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎-\frac{7}{2}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של -\frac{7}{2} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$x^{2}-7x+\left(-\frac{7}{2}\right)^{2}=27+\left(-\frac{7}{2}\right)^{2}$$

העלה את ‎-\frac{7}{2} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$x^{2}-7x+\frac{49}{4}=27+\frac{49}{4}$$

הוסף את ‎27 ל- ‎\frac{49}{4}.

$$x^{2}-7x+\frac{49}{4}=\frac{157}{4}$$

פרק x^{2}-7x+\frac{49}{4} לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{2}\right)^{2}=\frac{157}{4}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{157}{4}}$$

פשט.

$$x-\frac{7}{2}=\frac{\sqrt{157}}{2} x-\frac{7}{2}=-\frac{\sqrt{157}}{2}$$

הוסף ‎\frac{7}{2} לשני אגפי המשוואה.

$$x=\frac{\sqrt{157}+7}{2} x=\frac{7-\sqrt{157}}{2}$$