פתור את 2x^2-14x+2=0

$$2 { x }^{ 2 } -14x+2=0$$

פתור עבור x

$$x = \frac{3 \sqrt{5} + 7}{2} \approx 6.854101966$$

$$x=\frac{7-3\sqrt{5}}{2}\approx 0.145898034$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$2x^{2}-14x+2=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 2 במקום a, ב- -14 במקום b, וב- 2 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{\left(-14\right)^{2}-4\times 2\times 2}}{2\times 2}$$

‎-14 בריבוע.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-4\times 2\times 2}}{2\times 2}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎2.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-8\times 2}}{2\times 2}$$

הכפל את ‎-8 ב- ‎2.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-16}}{2\times 2}$$

הוסף את ‎196 ל- ‎-16.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{180}}{2\times 2}$$

הוצא את השורש הריבועי של 180.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±6\sqrt{5}}{2\times 2}$$

ההופכי של ‎-14 הוא ‎14.

$$x=\frac{14±6\sqrt{5}}{2\times 2}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎2.

$$x=\frac{14±6\sqrt{5}}{4}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{14±6\sqrt{5}}{4} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎14 ל- ‎6\sqrt{5}.

$$x=\frac{6\sqrt{5}+14}{4}$$

חלק את ‎14+6\sqrt{5} ב- ‎4.

$$x=\frac{3\sqrt{5}+7}{2}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{14±6\sqrt{5}}{4} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎6\sqrt{5} מ- ‎14.

$$x=\frac{14-6\sqrt{5}}{4}$$

חלק את ‎14-6\sqrt{5} ב- ‎4.

$$x=\frac{7-3\sqrt{5}}{2}$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$x=\frac{3\sqrt{5}+7}{2} x=\frac{7-3\sqrt{5}}{2}$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-14x+2=0$$

החסר ‎2 משני אגפי המשוואה.

$$2x^{2}-14x+2-2=-2$$

החסרת 2 מעצמו נותנת 0.

$$2x^{2}-14x=-2$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$\frac{2x^{2}-14x}{2}=-\frac{2}{2}$$

חילוק ב- ‎2 מבטל את ההכפלה ב- ‎2.

$$x^{2}+\left(-\frac{14}{2}\right)x=-\frac{2}{2}$$

חלק את ‎-14 ב- ‎2.

$$x^{2}-7x=-\frac{2}{2}$$

חלק את ‎-2 ב- ‎2.

$$x^{2}-7x=-1$$

חלק את ‎-7, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎-\frac{7}{2}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של -\frac{7}{2} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$x^{2}-7x+\left(-\frac{7}{2}\right)^{2}=-1+\left(-\frac{7}{2}\right)^{2}$$

העלה את ‎-\frac{7}{2} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$x^{2}-7x+\frac{49}{4}=-1+\frac{49}{4}$$

הוסף את ‎-1 ל- ‎\frac{49}{4}.

$$x^{2}-7x+\frac{49}{4}=\frac{45}{4}$$

פרק x^{2}-7x+\frac{49}{4} לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{2}\right)^{2}=\frac{45}{4}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{45}{4}}$$

פשט.

$$x-\frac{7}{2}=\frac{3\sqrt{5}}{2} x-\frac{7}{2}=-\frac{3\sqrt{5}}{2}$$

הוסף ‎\frac{7}{2} לשני אגפי המשוואה.

$$x=\frac{3\sqrt{5}+7}{2} x=\frac{7-3\sqrt{5}}{2}$$