פתור את 2x^2-13x+21=0

$$2 { x }^{ 2 } -13x+21 = 0$$

פתור עבור x

$$x=3$$

$$x = \frac{7}{2} = 3\frac{1}{2} = 3.5$$

שלבים הכוללים שימוש בפירוק לגורמים על-ידי קיבוץ

כדי לפתור את המשוואה, פרק את האגף השמאלי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את האגף השמאלי כ- 2x^{2}+ax+bx+21. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=-13 ab=2\times 21=42$$

מאחר ש- ab הוא חיובי, ל- a ול- b יש אותו סימן. מאחר ש- a+b הוא שלילי, a ו- b שניהם שליליים. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה 42.

$$-1,-42 -2,-21 -3,-14 -6,-7$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$-1-42=-43 -2-21=-23 -3-14=-17 -6-7=-13$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום -13.

$$a=-7 b=-6$$

שכתב את ‎2x^{2}-13x+21 כ- ‎\left(2x^{2}-7x\right)+\left(-6x+21\right).

$$\left(2x^{2}-7x\right)+\left(-6x+21\right)$$

הוצא את הגורם המשותף x בקבוצה הראשונה ואת -3 בקבוצה השניה.

$$x\left(2x-7\right)-3\left(2x-7\right)$$

הוצא את האיבר המשותף 2x-7 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(2x-7\right)\left(x-3\right)$$

כדי למצוא פתרונות משוואה, פתור את 2x-7=0 ו- x-3=0.

$$x=\frac{7}{2} x=3$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$2x^{2}-13x+21=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 2 במקום a, ב- -13 במקום b, וב- 21 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{\left(-13\right)^{2}-4\times 2\times 21}}{2\times 2}$$

‎-13 בריבוע.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{169-4\times 2\times 21}}{2\times 2}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎2.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{169-8\times 21}}{2\times 2}$$

הכפל את ‎-8 ב- ‎21.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{169-168}}{2\times 2}$$

הוסף את ‎169 ל- ‎-168.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{1}}{2\times 2}$$

הוצא את השורש הריבועי של 1.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±1}{2\times 2}$$

ההופכי של ‎-13 הוא ‎13.

$$x=\frac{13±1}{2\times 2}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎2.

$$x=\frac{13±1}{4}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{13±1}{4} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎13 ל- ‎1.

$$x=\frac{14}{4}$$

צמצם את השבר ‎\frac{14}{4} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 2.

$$x=\frac{7}{2}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{13±1}{4} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎1 מ- ‎13.

$$x=\frac{12}{4}$$

חלק את ‎12 ב- ‎4.

$$x=3$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$x=\frac{7}{2} x=3$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-13x+21=0$$

החסר ‎21 משני אגפי המשוואה.

$$2x^{2}-13x+21-21=-21$$

החסרת 21 מעצמו נותנת 0.

$$2x^{2}-13x=-21$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$\frac{2x^{2}-13x}{2}=-\frac{21}{2}$$

חילוק ב- ‎2 מבטל את ההכפלה ב- ‎2.

$$x^{2}-\frac{13}{2}x=-\frac{21}{2}$$

חלק את ‎-\frac{13}{2}, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎-\frac{13}{4}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של -\frac{13}{4} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$x^{2}-\frac{13}{2}x+\left(-\frac{13}{4}\right)^{2}=-\frac{21}{2}+\left(-\frac{13}{4}\right)^{2}$$

העלה את ‎-\frac{13}{4} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$x^{2}-\frac{13}{2}x+\frac{169}{16}=-\frac{21}{2}+\frac{169}{16}$$

הוסף את ‎-\frac{21}{2} ל- ‎\frac{169}{16} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x^{2}-\frac{13}{2}x+\frac{169}{16}=\frac{1}{16}$$

פרק x^{2}-\frac{13}{2}x+\frac{169}{16} לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{13}{4}\right)^{2}=\frac{1}{16}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(x-\frac{13}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{16}}$$

פשט.

$$x-\frac{13}{4}=\frac{1}{4} x-\frac{13}{4}=-\frac{1}{4}$$

הוסף ‎\frac{13}{4} לשני אגפי המשוואה.

$$x=\frac{7}{2} x=3$$